Номер 435, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 435, страница 90.

Условие 2023.

435. Пользуясь определением подобных треугольников, докажите, что любые два равносторонних треугольника подобны.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Согласно определению, два треугольника являются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Докажем, что для любых двух равносторонних треугольников эти условия всегда выполняются.

Рассмотрим два произвольных равносторонних треугольника: $ \triangle ABC $ со стороной $a$ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ со стороной $b$.

1. Равенство углов.

По свойству равностороннего треугольника, все его внутренние углы равны $60^\circ$. Следовательно, для $ \triangle ABC $ имеем: $ \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ $. Аналогично, для $ \triangle A_1B_1C_1 $ имеем: $ \angle A_1 = \angle B_1 = \angle C_1 = 60^\circ $. Таким образом, соответственные углы этих треугольников равны: $ \angle A = \angle A_1 $, $ \angle B = \angle B_1 $, $ \angle C = \angle C_1 $. Первое условие подобия выполняется.

2. Пропорциональность сторон.

По определению равностороннего треугольника, все его стороны равны. Для $ \triangle ABC $ имеем: $ AB = BC = CA = a $. Для $ \triangle A_1B_1C_1 $ имеем: $ A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1 = b $. Найдем отношение длин сходственных сторон: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{a}{b} $ $ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{a}{b} $ $ \frac{CA}{C_1A_1} = \frac{a}{b} $ Все отношения равны одному и тому же числу $ \frac{a}{b} $, следовательно, сходственные стороны пропорциональны. Второе условие подобия также выполняется.

Поскольку для двух произвольных равносторонних треугольников выполняются оба условия из определения подобных треугольников (соответственные углы равны и сходственные стороны пропорциональны), то любые два равносторонних треугольника подобны.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

435. Пользуясь определением подобных треугольников, докажите, что любые два равносторонних треугольника подобны.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).