Номер 441, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 441, страница 91.

Условие 2023.

441. Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами 8 см и 12 см соответственно имеют внешнее касание в точке $A$. Их общая внешняя касательная пересекает прямую $O_1O_2$ в точке $B$. Найдите расстояния от точки $B$ до центров данных окружностей.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $r_1 = 8$ см и $r_2 = 12$ см — радиусы окружностей с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ соответственно. Поскольку окружности касаются внешним образом в точке $A$, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов:

$O_1O_2 = r_1 + r_2 = 8 + 12 = 20$ см.

Точки $O_1$, $O_2$ и $A$ лежат на одной прямой. Точка $B$ также лежит на этой прямой по условию.

Пусть общая внешняя касательная касается первой окружности в точке $T_1$, а второй — в точке $T_2$. Тогда радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной:

$O_1T_1 \perp BT_2$ и $O_2T_2 \perp BT_2$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle BO_1T_1$ и $\triangle BO_2T_2$. У этих треугольников есть общий острый угол $\angle B$. Следовательно, эти треугольники подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$ \frac{BO_1}{BO_2} = \frac{O_1T_1}{O_2T_2} $

Подставим известные значения радиусов ($O_1T_1 = r_1$ и $O_2T_2 = r_2$):

$ \frac{BO_1}{BO_2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $

Точки $B$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой. Так как $r_1 < r_2$, точка $B$ (точка пересечения касательной и линии центров) будет лежать со стороны меньшей окружности, то есть $O_1$ находится между $B$ и $O_2$. Таким образом, мы можем выразить расстояние $BO_2$ через $BO_1$ и $O_1O_2$:

$ BO_2 = BO_1 + O_1O_2 = BO_1 + 20 $

Подставим это выражение в нашу пропорцию:

$ \frac{BO_1}{BO_1 + 20} = \frac{2}{3} $

Решим это уравнение относительно $BO_1$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ 3 \cdot BO_1 = 2 \cdot (BO_1 + 20) $

$ 3 \cdot BO_1 = 2 \cdot BO_1 + 40 $

$ 3 \cdot BO_1 - 2 \cdot BO_1 = 40 $

$ BO_1 = 40 $ см.

Теперь найдем расстояние $BO_2$:

$ BO_2 = BO_1 + 20 = 40 + 20 = 60 $ см.

Ответ: расстояние от точки В до центра $O_1$ равно 40 см, а до центра $O_2$ — 60 см.

Условие 2015-2022.

441. Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами 8 см и 12 см соответственно имеют внешнее касание в точке $A$. Их общая внешняя касательная пересекает прямую $O_1O_2$ в точке $B$. Найдите расстояния от точки $B$ до центров данных окружностей.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).