Номер 444, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 444, страница 91.

Условие 2023.

444. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 8$ см, $BC = 12$ см, $\angle ABC = 120^\circ$, отрезок $BD$ – биссектриса. Найдите отрезок $BD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для нахождения длины биссектрисы $BD$ воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $DBC$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ – стороны треугольника, а $\gamma$ – угол между ними.

1. Найдем площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$

Подставим известные значения: $AB = 8$ см, $BC = 12$ см, $\angle ABC = 120^{\circ}$.

$\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Обозначим искомую длину биссектрисы $BD$ через $x$.

Поскольку $BD$ – биссектриса угла $\angle ABC$, она делит его на два равных угла:

$\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$.

3. Выразим площади треугольников $ABD$ и $DBC$ через $x$.

Площадь треугольника $ABD$:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin(\angle ABD) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot x \cdot \sin(60^{\circ}) = 4x \frac{\sqrt{3}}{2} = 2x\sqrt{3}$.

Площадь треугольника $DBC$:

$S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin(\angle DBC) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot x \cdot \sin(60^{\circ}) = 6x \frac{\sqrt{3}}{2} = 3x\sqrt{3}$.

4. Составим уравнение, используя равенство $S_{ABC} = S_{ABD} + S_{DBC}$:

$24\sqrt{3} = 2x\sqrt{3} + 3x\sqrt{3}$

$24\sqrt{3} = 5x\sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$24 = 5x$

$x = \frac{24}{5} = 4.8$.

Таким образом, длина отрезка $BD$ равна 4,8 см.

Ответ: 4,8 см.

Условие 2015-2022.

444. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=8 \text{ см}$, $BC=12 \text{ см}$, $\angle ABC = 120^\circ$, $BD$ — биссектриса. Найдите отрезок $BD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).