Номер 2, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 2, страница 94.

Условие 2023.

2. Сформулируйте свойство пересекающихся хорд.

Решение 6 (2023).

2.

Свойство пересекающихся хорд (также известное как теорема о произведении отрезков хорд) формулируется следующим образом: если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению длин отрезков, на которые та же точка делит другую хорду.

Развернутое объяснение и доказательство

Пусть в окружности две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$.

Тогда, согласно свойству, выполняется равенство:
$AM \cdot MB = CM \cdot MD$

Доказательство:
1. Соединим точки $A$ и $C$, а также точки $D$ и $B$ отрезками. Мы получим два треугольника: $\triangle AMC$ и $\triangle DMB$.
2. Рассмотрим углы этих треугольников:
• Углы $\angle CAM$ и $\angle CDB$ (также обозначаемые как $\angle CAB$ и $\angle CDB$) являются вписанными углами, которые опираются на одну и ту же дугу $CB$. Следовательно, по свойству вписанных углов, они равны: $\angle CAM = \angle CDB$.
• Углы $\angle ACM$ и $\angle ABD$ (также обозначаемые как $\angle ACD$ и $\angle ABD$) являются вписанными углами, которые опираются на одну и ту же дугу $AD$. Следовательно, они также равны: $\angle ACM = \angle ABD$.
3. Таким образом, треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle DMB$ подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум равным углам).
4. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:
$\frac{AM}{DM} = \frac{CM}{BM}$
5. Применив основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:
$AM \cdot BM = CM \cdot DM$
Теорема доказана.

Ответ: Если две хорды окружности, $AB$ и $CD$, пересекаются в точке $M$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: $AM \cdot MB = CM \cdot MD$.

Условие 2015-2022.

2. Сформулируйте свойство пересекающихся хорд.