Номер 443, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 443, страница 91.

Условие 2023.

443. В равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 см, а боковая сторона – 18 см, вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания этой окружности с боковыми сторонами треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC = 12$ см и боковыми сторонами $AB = AC = 18$ см. В этот треугольник вписана окружность. Обозначим точки касания окружности со сторонами $AB$, $AC$ и $BC$ как $E$, $F$ и $D$ соответственно. Требуется найти расстояние между точками касания с боковыми сторонами, то есть длину отрезка $EF$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, мы имеем следующие равенства:
$AE = AF$
$BE = BD$
$CF = CD$

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, высота, проведенная из вершины $A$ к основанию $BC$, является также медианой. Точка касания $D$ вписанной окружности с основанием является точкой, в которой высота касается основания, и, следовательно, делит основание $BC$ пополам.
Следовательно, $BD = CD = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Из свойств касательных следует, что $BE = BD = 6$ см.
Теперь мы можем найти длину отрезка $AE$. Так как точка $E$ лежит на стороне $AB$, то:
$AE = AB - BE = 18 - 6 = 12$ см.

Аналогично для стороны $AC$:
$AF = AC - CF = AC - CD = 18 - 6 = 12$ см.

Рассмотрим треугольники $AEF$ и $ABC$.
1. У них есть общий угол $\angle A$ (то есть $\angle EAF = \angle BAC$).
2. Стороны, образующие этот угол, пропорциональны:
$\frac{AE}{AB} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$
$\frac{AF}{AC} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$
Так как $\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}$ и угол $\angle A$ общий, то треугольник $AEF$ подобен треугольнику $ABC$ по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k = \frac{2}{3}$.
$\frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{2}{3}$
Отсюда мы можем выразить и найти длину искомого отрезка $EF$:
$EF = BC \cdot \frac{2}{3} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

Условие 2015-2022.

443. В равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 см, а боковая сторона – 18 см, вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания этой окружности с боковыми сторонами треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).