Номер 439, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 439, страница 91.

Условие 2023.

439. На рисунке 149 изображены треугольник $ABC$ и вписанный в него ромб $BDEK$. Найдите сторону ромба, если $AB = 10$ см, $BC = 15$ см.

Рис. 149

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть сторона ромба $BDEK$ равна $x$ см. Тогда, по определению ромба, все его стороны равны: $BK = DE = BD = EK = x$.

Поскольку $BDEK$ — ромб, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $DE$ параллельна стороне $BK$. Так как точка $K$ лежит на стороне $AB$ треугольника, то $DE \parallel AB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle CDE$ и $\triangle CBA$.

Так как прямая $DE$ параллельна прямой $AB$, то $\triangle CDE$ подобен $\triangle CBA$. Подобие следует из равенства двух углов:

• $\angle C$ — общий для обоих треугольников.
• $\angle CDE = \angle CBA$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $AB$ и секущей $BC$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{DE}{AB} = \frac{CD}{BC}$

Нам даны длины сторон треугольника: $AB = 10$ см и $BC = 15$ см. Сторона ромба $DE = x$. Длину отрезка $CD$ можно выразить через сторону ромба: $CD = BC - BD = 15 - x$.

Подставим эти значения в уравнение пропорции:

$\frac{x}{10} = \frac{15 - x}{15}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Применим основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$15 \cdot x = 10 \cdot (15 - x)$

$15x = 150 - 10x$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть уравнения:

$15x + 10x = 150$

$25x = 150$

$x = \frac{150}{25}$

$x = 6$

Следовательно, длина стороны ромба равна 6 см.

Ответ: 6 см.

Условие 2015-2022.

439. На рисунке 137 изображены треугольник $ABC$ и вписанный в него ромб $BDEK$. Найдите сторону ромба, если $AB = 10 \text{ см}$, $BC = 15 \text{ см}$.

Рис. 137

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).