Номер 440, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 440, страница 91.

Условие 2023.

440. На рисунке 150 изображены прямоугольный треугольник ABC ($ \angle B = 90^\circ $) и вписанный в него квадрат BMKN. Найдите отрезок CN, если $ BM = 6 $ см, $ AB = 10 $ см.

Рис. 150

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи, в прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle B = 90^\circ$) вписан квадрат $BMKN$. Вершина $B$ у них общая, вершина $M$ лежит на катете $AB$, вершина $N$ — на катете $BC$, а вершина $K$ — на гипотенузе $AC$. Известно, что $BM = 6$ см и $AB = 10$ см.

1. Так как $BMKN$ — это квадрат, все его стороны равны. Следовательно, $BM = MK = KN = NB = 6$ см.

2. Точка $M$ лежит на отрезке $AB$. Мы можем найти длину отрезка $AM$:
$AM = AB - BM = 10 \text{ см} - 6 \text{ см} = 4$ см.

3. Рассмотрим треугольники $AMK$ и $KNC$.
Поскольку $BMKN$ — квадрат, его стороны параллельны катетам треугольника $ABC$.
Сторона $MK$ параллельна стороне $BC$ ($MK \parallel BC$), так как обе эти прямые перпендикулярны $AB$.
Сторона $KN$ параллельна стороне $AB$ ($KN \parallel AB$), так как обе эти прямые перпендикулярны $BC$.

4. Рассмотрим углы этих треугольников.
Так как $MK \parallel BC$, то $\angle AMK = \angle ABC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $AMK$ — прямоугольный.
Так как $KN \parallel AB$, то $\angle KNC = \angle ABC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $KNC$ — прямоугольный.
Рассмотрим углы при гипотенузе $AC$. Так как $MK \parallel BC$, то соответственные углы при секущей $AC$ равны: $\angle AKM = \angle ACB$.

5. Докажем подобие треугольников $AMK$ и $KNC$.
Оба треугольника являются прямоугольными. Угол $\angle KCN$ треугольника $KNC$ — это угол $\angle ACB$. Мы установили, что $\angle AKM = \angle ACB$, следовательно, $\angle AKM = \angle KCN$.
Поскольку прямоугольные треугольники $AMK$ и $KNC$ имеют по равному острому углу ($\angle AKM = \angle KCN$), они подобны. Итак, $\triangle AMK \sim \triangle KNC$.

6. Из подобия треугольников следует пропорциональность их катетов:
$\frac{AM}{KN} = \frac{MK}{NC}$

7. Подставим известные значения в это соотношение:
$AM = 4$ см
$KN = 6$ см (сторона квадрата)
$MK = 6$ см (сторона квадрата)
Получаем пропорцию:
$\frac{4}{6} = \frac{6}{CN}$

8. Решим уравнение относительно $CN$:
$4 \cdot CN = 6 \cdot 6$
$4 \cdot CN = 36$
$CN = \frac{36}{4}$
$CN = 9$ см.

Ответ: 9 см.

Условие 2015-2022.

440. На рисунке 138 изображены прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle B = 90^\circ$) и вписанный в него квадрат $BMKN$. Найдите $CN$, если $BM = 6$ см, $AB = 10$ см.

Рис. 138

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).