Номер 442, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 442, страница 91.

Условие 2023.

442. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см. Через середину высоты треугольника, опущенной на его основание, проведена прямая, параллельная боковой стороне. Найдите периметр треугольника, который эта прямая отсекает от данного.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB$ и $BC$ ($AB = BC$). Периметр треугольника $P_{ABC} = AB + BC + AC = 2 \cdot AB + AC = 48$ см.

Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также и медианой. Следовательно, точка $H$ — середина основания $AC$, то есть $AH = HC = \frac{1}{2} AC$.

Пусть $M$ — середина высоты $BH$, так что $BM = MH = \frac{1}{2} BH$. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная боковой стороне $BC$. Обозначим эту прямую $LK$, где точка $L$ лежит на стороне $AB$, а точка $K$ — на основании $AC$. Эта прямая отсекает от исходного треугольника $\triangle ABC$ новый треугольник $\triangle ALK$.

Поскольку прямая $LK$ параллельна стороне $BC$ ($LK \parallel BC$), то по теореме о подобных треугольниках, отсеченный треугольник $\triangle ALK$ подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон:$k = \frac{AL}{AB} = \frac{AK}{AC} = \frac{LK}{BC}$

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:$\frac{P_{ALK}}{P_{ABC}} = k$

Для нахождения периметра $P_{ALK}$ нам нужно найти коэффициент подобия $k$. Найдем его через отношение сторон $AK$ и $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BHC$ (так как $BH$ — высота, $\angle BHC = 90^\circ$). Прямая $LK$ пересекает сторону $BH$ в точке $M$ и сторону $HC$ в точке $K$. Так как $LK \parallel BC$, то по теореме Фалеса (или из подобия треугольников $\triangle HMK$ и $\triangle HBC$):$\frac{HK}{HC} = \frac{HM}{HB}$

По условию, $M$ — середина $BH$, значит $HM = \frac{1}{2} BH$. Подставив это в пропорцию, получаем:$\frac{HK}{HC} = \frac{\frac{1}{2} BH}{BH} = \frac{1}{2}$

Отсюда следует, что $HK = \frac{1}{2} HC$. Так как $H$ — середина $AC$, то $HC = \frac{1}{2} AC$. Значит, $HK = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} AC\right) = \frac{1}{4} AC$.

Теперь найдем длину отрезка $AK$. Точка $K$ лежит на отрезке $HC$.$AK = AH + HK$Подставляем известные нам соотношения:$AK = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{4} AC = \frac{3}{4} AC$

Теперь мы можем найти коэффициент подобия $k$:$k = \frac{AK}{AC} = \frac{\frac{3}{4} AC}{AC} = \frac{3}{4}$

Наконец, найдем искомый периметр треугольника $\triangle ALK$:$P_{ALK} = k \cdot P_{ABC} = \frac{3}{4} \cdot 48 \text{ см} = 3 \cdot 12 \text{ см} = 36 \text{ см}$.

Ответ: 36 см.

Условие 2015-2022.

442. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см. Через середину высоты треугольника, опущенной на его основание, проведена прямая, параллельная боковой стороне. Найдите периметр треугольника, который эта прямая отсекает от данного.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).