Номер 445, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 445, страница 91.

Условие 2023.

445. Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ в 2 раза больше стороны $AB$.

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма пересекают прямую $CD$

в точках $M$ и $K$ соответственно

(рис. 151). Найдите стороны параллелограмма, если $MK = 18$ см.

Рис. 151

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ - данный параллелограмм. Обозначим длину стороны $AB$ через $x$. Согласно условию задачи, сторона $BC$ в 2 раза больше стороны $AB$. Следовательно, $BC = 2x$.

Так как $ABCD$ - параллелограмм, его противолежащие стороны равны: $CD = AB = x$ $AD = BC = 2x$

Рассмотрим биссектрису $AM$ угла $A$. Она пересекает прямую $CD$ в точке $M$. Прямые $AB$ и $CD$ параллельны, а $AM$ является секущей. Поэтому накрест лежащие углы равны: $ \angle BAM = \angle DMA $

Поскольку $AM$ - биссектриса угла $A$, то: $ \angle DAM = \angle BAM $

Из двух последних равенств следует, что: $ \angle DAM = \angle DMA $

Это означает, что треугольник $ADM$ является равнобедренным, и его боковые стороны, прилежащие к равным углам, равны: $ AD = DM $

Так как $AD = 2x$, то и $DM = 2x$.

Теперь рассмотрим биссектрису $BK$ угла $B$. Она пересекает прямую $CD$ в точке $K$. Прямые $AB$ и $CD$ параллельны, а $BK$ является секущей. Поэтому накрест лежащие углы равны: $ \angle ABK = \angle CK B $

Поскольку $BK$ - биссектриса угла $B$, то: $ \angle CBK = \angle ABK $

Из двух последних равенств следует, что: $ \angle CBK = \angle CK B $

Это означает, что треугольник $BCK$ является равнобедренным, и его боковые стороны, прилежащие к равным углам, равны: $ BC = CK $

Так как $BC = 2x$, то и $CK = 2x$.

Теперь определим взаимное расположение точек $M, K, C, D$ на прямой $CD$. Биссектрисы $AM$ и $BK$ выходят из углов $A$ и $B$ и направлены внутрь параллелограмма. Углы $A$ и $B$ — соседние, их сумма равна $180^\circ$. Если один из них острый, то другой тупой. Это приводит к тому, что точки $M$ и $K$ окажутся по разные стороны от отрезка $CD$.

Рассмотрим расположение точки $M$. Мы знаем, что $DM = 2x$ и $CD = x$. Так как $DM > CD$, точка $C$ лежит между точками $M$ и $D$. Таким образом, длина отрезка $MC$ равна: $ MC = DM - CD = 2x - x = x $

Рассмотрим расположение точки $K$. Мы знаем, что $CK = 2x$ и $CD = x$. Так как $CK > CD$, точка $D$ лежит между точками $C$ и $K$. Таким образом, длина отрезка $DK$ равна: $ DK = CK - CD = 2x - x = x $

Точки на прямой располагаются в следующем порядке: M, C, D, K. Длина отрезка $MK$ складывается из длин отрезков $MC, CD$ и $DK$: $ MK = MC + CD + DK = x + x + x = 3x $

По условию задачи $MK = 18$ см. Составим уравнение: $ 3x = 18 $ $ x = \frac{18}{3} = 6 $ см.

Теперь мы можем найти длины сторон параллелограмма: $ AB = CD = x = 6 $ см. $ BC = AD = 2x = 2 \cdot 6 = 12 $ см.

Ответ: Стороны параллелограмма равны 6 см, 12 см, 6 см, 12 см.

Условие 2015-2022.

445. Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ в 2 раза больше стороны $AB$. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма пересекают прямую $CD$ в точках $M$ и $K$ соответственно (рис. 139). Найдите стороны параллелограмма, если $MK = 18$ см.

Рис. 139

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).