Номер 447, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 447, страница 92.

Условие 2023.

447. Окружность, центр которой принадлежит стороне AB треугольника ABC, проходит через точку B, касается стороны AC в точке C и пересекает сторону AB в точке D, причём $AD : BD = 1 : 2$. Найдите углы:

1) треугольника ABC;

2) треугольника BCD.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $O$ — центр окружности, а $R$ — её радиус.По условию, центр окружности $O$ лежит на стороне $AB$ треугольника $ABC$. Окружность проходит через точки $B$ и $D$, которые также лежат на прямой $AB$. Это означает, что отрезок $BD$ является хордой, на которой лежит центр окружности. Следовательно, $BD$ — это диаметр окружности.

Точка $O$ является серединой диаметра $BD$, поэтому $OD = OB = R$, а длина диаметра $BD = 2R$.Так как окружность касается стороны $AC$ в точке $C$, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OC \perp AC$, и $\angle OCA = 90^\circ$. Также, поскольку точка $C$ лежит на окружности, $OC = R$.

Из условия задачи известно, что $AD : BD = 1 : 2$. Подставив $BD = 2R$, получаем $AD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2}(2R) = R$.Точки на прямой $AB$ расположены в следующем порядке: $A$, $D$, $O$, $B$. Расстояния между ними: $AD = R$, $DO = R$, $OB = R$.

1) треугольника ABC

Рассмотрим треугольник $AOC$. Он является прямоугольным, так как $\angle OCA = 90^\circ$.Длина катета $OC = R$.Длина гипотенузы $AO = AD + DO = R + R = 2R$.В прямоугольном треугольнике $AOC$ катет $OC$ в два раза меньше гипотенузы $AO$. Угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$. Следовательно, $\angle OAC = 30^\circ$. Этот угол является углом $A$ треугольника $ABC$.Таким образом, $\angle A = 30^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $AOC$ равна $180^\circ$, поэтому $\angle AOC = 180^\circ - \angle OCA - \angle OAC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Точки $A$, $O$, $B$ лежат на одной прямой, значит, угол $\angle AOB$ — развёрнутый и равен $180^\circ$. Углы $\angle AOC$ и $\angle BOC$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$.$\angle BOC = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $OBC$. В нём $OB = OC = R$, следовательно, он равнобедренный. Углы при основании $BC$ равны: $\angle OBC = \angle OCB$.Сумма углов в $\triangle OBC$ равна $180^\circ$: $\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ$.$2\angle OBC + 120^\circ = 180^\circ \Rightarrow 2\angle OBC = 60^\circ \Rightarrow \angle OBC = 30^\circ$.Угол $\angle OBC$ является углом $B$ треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle B = 30^\circ$.

Угол $C$ треугольника $ABC$ равен сумме углов $\angle OCA$ и $\angle OCB$:$\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$.Проверим сумму углов в $\triangle ABC$: $\angle A + \angle B + \angle C = 30^\circ + 30^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.

Ответ: углы треугольника $ABC$ равны $30^\circ$, $30^\circ$, $120^\circ$.

2) треугольника BCD

Найдём углы треугольника $BCD$: $\angle CBD$, $\angle BDC$ и $\angle BCD$.Угол $\angle CBD$ совпадает с углом $\angle B$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle CBD = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ODC$. В нём $OD = OC = R$, следовательно, он равнобедренный.Угол при вершине $O$, $\angle DOC$, совпадает с углом $\angle AOC$, так как точки $A, D, O$ лежат на одной прямой. Мы уже нашли, что $\angle AOC = 60^\circ$, значит, $\angle DOC = 60^\circ$.Равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен $60^\circ$, является равносторонним. Таким образом, $\triangle ODC$ — равносторонний.Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.Следовательно, $\angle ODC = 60^\circ$ и $\angle OCD = 60^\circ$.

Угол $\angle BDC$ треугольника $BCD$ совпадает с углом $\angle ODC$, поэтому $\angle BDC = 60^\circ$.

Угол $\angle BCD$ состоит из двух углов: $\angle BCO$ и $\angle OCD$.Из равнобедренного $\triangle OBC$ мы знаем, что $\angle BCO = 30^\circ$.Из равностороннего $\triangle ODC$ мы знаем, что $\angle OCD = 60^\circ$.$\angle BCD = \angle BCO + \angle OCD = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$.Проверим сумму углов в $\triangle BCD$: $\angle CBD + \angle BDC + \angle BCD = 30^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Ответ: углы треугольника $BCD$ равны $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$.

Условие 2015-2022.

447. Окружность, центр которой принадлежит стороне $AB$ треугольника $ABC$, проходит через точку $B$, касается стороны $AC$ в точке $C$ и пересекает сторону $AB$ в точке $D$, причём $AD : BD = 1 : 2$. Найдите углы:

1) треугольника $ABC$;

2) треугольника $BCD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).