Номер 450, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 450, страница 95.

Условие 2023.

450. На рисунке 157 $DE \perp AB$, $BC \perp AD$. Укажите на этом рисунке все па-ры подобных треугольников.

Рис. 157

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для нахождения всех пар подобных треугольников на данном рисунке воспользуемся признаком подобия по двум углам (AA): если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Из условий задачи $DE \perp AB$ и $BC \perp AD$ следует, что на рисунке есть четыре прямоугольных треугольника:

• $\triangle ADE$, в котором $\angle AED = 90^\circ$;
• $\triangle ABC$, в котором $\angle BCA = 90^\circ$;
• $\triangle BFE$, в котором $\angle BEF = 90^\circ$ (поскольку точки A, E, B лежат на одной прямой, $\angle AEB = 180^\circ$, значит $\angle BEF = 180^\circ - \angle AED = 90^\circ$);
• $\triangle CFD$, в котором $\angle FCD = 90^\circ$ (поскольку точки A, C, D лежат на одной прямой, $\angle ACD = 180^\circ$, значит $\angle FCD = 180^\circ - \angle BCA = 90^\circ$).

Докажем, что все эти четыре треугольника подобны друг другу, найдя у них равные углы.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle ABC$. Они имеют общий острый угол $\angle A$ и по одному прямому углу ($\angle AED = \angle ACB = 90^\circ$). Следовательно, по признаку АА, $\triangle ADE \sim \triangle ABC$. Из этого подобия следует равенство их других острых углов: $\angle ADE = \angle ABC$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BFE$ и $\triangle CFD$. У них углы $\angle BFE$ и $\angle CFD$ равны как вертикальные. Также они имеют по одному прямому углу ($\angle FEB = \angle FCD = 90^\circ$). Следовательно, по признаку АА, $\triangle BFE \sim \triangle CFD$. Из этого подобия следует равенство их других острых углов: $\angle FBE = \angle FDC$.

3. Объединим полученные результаты. Из первого подобия мы знаем, что $\angle ADE = \angle ABC$. Из второго подобия — что $\angle FBE = \angle FDC$. Так как $\angle ABC$ и $\angle FBE$ — это один и тот же угол при вершине B, мы можем заключить, что все четыре острых угла $\angle ADE$, $\angle ABC$, $\angle FBE$, $\angle FDC$ равны между собой.Поскольку все четыре треугольника являются прямоугольными и их соответственные острые углы равны, все они подобны друг другу.

На основании этого можно составить 6 пар подобных треугольников.

Ответ: Пары подобных треугольников на рисунке:
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$
$\triangle ADE \sim \triangle FBE$
$\triangle ADE \sim \triangle CFD$
$\triangle ABC \sim \triangle FBE$
$\triangle ABC \sim \triangle CFD$
$\triangle BFE \sim \triangle CFD$

Условие 2015-2022.

450. На рисунке 145 $DE \perp AB$, $BC \perp AD$. Укажите на этом рисунке все пары подобных треугольников.

Рис. 145

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).