Номер 455, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 455, страница 96.

Условие 2023.

455. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) известно, что $AD = 20$ см, $BC = 15$ см, $O$ – точка пересечения диагоналей, $AO = 16$ см. Найдите отрезок $OC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой основания $BC \parallel AD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

При пересечении диагоналей образуются два треугольника: $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$.

Докажем, что эти треугольники подобны:

1. Углы $\angle BOC$ и $\angle DOA$ равны как вертикальные углы.

2. Углы $\angle OBC$ и $\angle ODA$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.

Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$\frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OA} = \frac{OB}{OD}$

Для решения задачи нам достаточно соотношения:

$\frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OA}$

Подставим известные из условия значения:

$BC = 15$ см

$AD = 20$ см

$AO = 16$ см

Получим пропорцию:

$\frac{15}{20} = \frac{OC}{16}$

Выразим из этой пропорции искомую длину отрезка $OC$:

$OC = \frac{15 \cdot 16}{20}$

Сократим дробь:

$OC = \frac{15 \cdot 4}{5} = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Ответ: $12$ см.

Условие 2015-2022.

455. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) известно, что $AD = 20$ см, $BC = 15$ см, $O$ – точка пересечения диагоналей, $AO = 16$ см. Найдите отрезок $OC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).