Номер 458, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 458, страница 96.

Условие 2023.

пыл 52 .

458. Докажите, что два равнобедренных треугольника подобны, если углы, противолежащие основаниям, равны.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — два равнобедренных треугольника.

В $\triangle ABC$ основание — $AC$, боковые стороны $AB = BC$. Угол, противолежащий основанию, — это $\angle B$.

В $\triangle A_1B_1C_1$ основание — $A_1C_1$, боковые стороны $A_1B_1 = B_1C_1$. Угол, противолежащий основанию, — это $\angle B_1$.

По условию задачи, углы, противолежащие основаниям, равны, то есть $\angle B = \angle B_1$.

Требуется доказать, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, в $\triangle ABC$ имеем $\angle A = \angle C$, а в $\triangle A_1B_1C_1$ имеем $\angle A_1 = \angle C_1$.

2. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

Для $\triangle ABC$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Так как $\angle A = \angle C$, мы можем записать: $2\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Выразим угол при основании $\angle A$: $\angle A = \frac{180^\circ - \angle B}{2}$.

3. Аналогично для $\triangle A_1B_1C_1$: $\angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = 180^\circ$.

Так как $\angle A_1 = \angle C_1$, мы можем записать: $2\angle A_1 + \angle B_1 = 180^\circ$.

Выразим угол при основании $\angle A_1$: $\angle A_1 = \frac{180^\circ - \angle B_1}{2}$.

4. По условию нам дано, что $\angle B = \angle B_1$. Сравнивая выражения для $\angle A$ и $\angle A_1$, мы видим, что их правые части равны:

$\frac{180^\circ - \angle B}{2} = \frac{180^\circ - \angle B_1}{2}$

Следовательно, $\angle A = \angle A_1$.

5. Теперь у нас есть два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых два соответствующих угла равны: $\angle B = \angle B_1$ (по условию) и $\angle A = \angle A_1$ (по доказанному).

Согласно первому признаку подобия треугольников (по двум углам), если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если у двух равнобедренных треугольников равны углы, противолежащие основаниям, то у них будут равны и углы при основании. Таким образом, по первому признаку подобия (по двум равным углам) эти треугольники подобны.

Условие 2015-2022.

458. Докажите, что два равнобедренных треугольника подобны, если углы при их вершинах равны.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).