Номер 465, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 465, страница 96.

Условие 2023.

465. Докажите, что в подобных треугольниках биссектрисы, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Дано:

Рассмотрим два подобных треугольника: $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $.

Из подобия следует, что их соответственные углы равны, а стороны пропорциональны с коэффициентом подобия $k$:

$ \angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1 $

$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $

В этих треугольниках проведены биссектрисы $BD$ и $B_1D_1$ из вершин соответственных углов $B$ и $B_1$.

Доказать:

Отношение биссектрис равно отношению соответственных сторон: $ \frac{BD}{B_1D_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = k $.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $.

2. Поскольку $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $, то их соответственные углы равны. Следовательно, $ \angle A = \angle A_1 $.

3. Так как $BD$ является биссектрисой угла $ \angle B $, то $ \angle ABD = \frac{1}{2} \angle B $. Аналогично, $B_1D_1$ — биссектриса угла $ \angle B_1 $, поэтому $ \angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2} \angle B_1 $.

4. Из условия подобия исходных треугольников мы знаем, что $ \angle B = \angle B_1 $. Отсюда следует, что и половины этих углов равны: $ \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 $.

5. Таким образом, в треугольниках $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $ есть две пары равных углов: $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 $.

6. По первому признаку подобия треугольников (по двум углам), $ \triangle ABD \sim \triangle A_1B_1D_1 $.

7. Из подобия треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $ следует пропорциональность их соответственных сторон:

$ \frac{BD}{B_1D_1} = \frac{AB}{A_1B_1} $

8. А так как по условию $ \frac{AB}{A_1B_1} = k $, то и $ \frac{BD}{B_1D_1} = k $.

Это означает, что отношение биссектрис, проведённых из вершин соответственных углов, равно отношению соответственных сторон. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В подобных треугольниках биссектрисы, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

Условие 2015-2022.

465. Докажите, что в подобных треугольниках биссектрисы, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).