Номер 470, страница 97 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 470, страница 97.

Условие 2023.

470. Объясните с помощью рисунка 161, как можно найти ширину (BM) реки, используя подобие треугольников.

Рис. 161

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для того чтобы найти ширину реки BM, используя подобие треугольников, необходимо выполнить ряд построений на местности, доказать подобие полученных фигур и на основе этого провести вычисления.

Построение

1. На противоположном берегу реки выбирается заметный ориентир — точка B. На ближнем берегу выбирается точка M так, чтобы отрезок BM был перпендикулярен линии берега.
2. Вдоль берега, по прямой линии, от точки M отмеряется некоторое расстояние до точки A. Длина отрезка MA измеряется.
3. В точке A к линии берега MA строится перпендикуляр AC (в сторону от реки). Длина отрезка AC также измеряется.
4. Поскольку BM и AC оба перпендикулярны одной и той же прямой MA, они параллельны друг другу ($BM \parallel AC$).
5. Наблюдатель становится в точку C и смотрит на ориентир B. Помощник движется по линии берега MA. Точка, в которой помощник окажется на линии визирования CB, обозначается как K.

Доказательство подобия треугольников

В результате построений мы получили два треугольника: $ \triangle BMK $ и $ \triangle ACK $. Докажем, что они подобны.
• Углы $ \angle BMK $ и $ \angle CAK $ — прямые по построению, то есть $ \angle BMK = \angle CAK = 90^\circ $.
• Углы $ \angle BKM $ и $ \angle CKA $ являются вертикальными, следовательно, они равны ($ \angle BKM = \angle CKA $).
Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, треугольники $ \triangle BMK $ и $ \triangle ACK $ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Расчет ширины реки

Из подобия треугольников ($ \triangle BMK \sim \triangle ACK $) следует, что их соответственные стороны пропорциональны: $ \frac{BM}{AC} = \frac{MK}{AK} $
Из этой пропорции можно выразить искомую ширину реки BM: $ BM = AC \cdot \frac{MK}{AK} $
Длины отрезков AC, MK и AK можно измерить на местности с помощью рулетки (длина AK находится после измерения MA и MK). Таким образом, подставив измеренные значения в формулу, можно вычислить ширину реки.

Ответ: Чтобы найти ширину реки, необходимо на местности построить подобные треугольники $ \triangle BMK $ и $ \triangle ACK $, как описано выше. Затем, измерив доступные расстояния AC, MK и AK, вычислить ширину BM по формуле $ BM = AC \cdot \frac{MK}{AK} $.

Условие 2015-2022.

470. Объясните с помощью рисунка 149, как можно найти ширину ($BM$) реки, используя подобие треугольников.

Рис. 149

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).