Номер 473, страница 97 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 473, страница 97.

Условие 2023.

473. Может ли прямая пересекать две стороны равнобедренного треугольника, отсекать от него треугольник, ему подобный, и не быть параллельной третьей стороне?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Да, такая ситуация возможна.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ \triangle ABC $ с основанием $ AC $ и равными сторонами $ AB = BC $. Обозначим углы при основании $ \angle BAC = \angle BCA = \alpha $, а угол при вершине $ \angle ABC = \beta $. Для любого треугольника справедливо соотношение $ 2\alpha + \beta = 180^\circ $. Будем считать, что треугольник не является равносторонним, то есть $ \alpha \neq \beta $.

Проанализируем два возможных случая расположения прямой.

Случай 1: Прямая пересекает две равные стороны.

Пусть прямая пересекает стороны $ AB $ и $ BC $ в точках $ M $ и $ N $ соответственно. В этом случае отсекается треугольник $ \triangle MBN $. Третья сторона, которую прямая не пересекает, — это основание $ AC $.

Треугольник $ \triangle MBN $ имеет общий угол с $ \triangle ABC $, а именно $ \angle B = \beta $. Чтобы $ \triangle MBN $ был подобен $ \triangle ABC $, его углы должны быть равны $ \alpha, \alpha, \beta $. Следовательно, углы при основании $ MN $ треугольника $ \triangle MBN $ должны быть равны $ \alpha $, то есть $ \angle BMN = \angle BNM = \alpha $.

Рассмотрим прямые $ MN $ и $ AC $ и секущую $ AB $. Углы $ \angle BMN $ и $ \angle BAC $ являются соответственными. Так как $ \angle BMN = \alpha $ и $ \angle BAC = \alpha $, эти углы равны. Это означает, что прямая $ MN $ параллельна основанию $ AC $ ($ MN \parallel AC $). Данный случай противоречит условию задачи, согласно которому прямая не должна быть параллельна третьей стороне.

Случай 2: Прямая пересекает основание и одну из равных сторон.

Пусть прямая пересекает сторону $ AB $ в точке $ M $ и основание $ AC $ в точке $ N $. В этом случае отсекается треугольник $ \triangle AMN $. Третья сторона, которую прямая не пересекает, — это $ BC $.

Треугольник $ \triangle AMN $ имеет общий угол с $ \triangle ABC $, а именно $ \angle A = \alpha $. Чтобы $ \triangle AMN $ был подобен $ \triangle ABC $ (углы которого $ \alpha, \alpha, \beta $), остальные два его угла должны быть равны $ \alpha $ и $ \beta $.

Рассмотрим вариант, когда $ \angle AMN = \alpha $ и $ \angle ANM = \beta $. Проверим, возможна ли такая конфигурация. Сумма углов в $ \triangle AMN $ будет равна $ \angle MAN + \angle AMN + \angle ANM = \alpha + \alpha + \beta = 2\alpha + \beta $. Так как для исходного треугольника $ \triangle ABC $ выполняется $ 2\alpha + \beta = 180^\circ $, то и для $ \triangle AMN $ сумма углов составляет $ 180^\circ $. Таким образом, такой треугольник может существовать, и он подобен $ \triangle ABC $. Конкретно, $ \triangle AMN \sim \triangle ACB $, так как $ \angle MAN = \angle CAB = \alpha $, $ \angle AMN = \angle ACB = \alpha $ и $ \angle ANM = \angle CBA = \beta $.

Теперь проверим условие параллельности. Прямая $ MN $ будет параллельна третьей стороне $ BC $ ($ MN \parallel BC $) тогда и только тогда, когда соответственные углы при секущей $ AC $ равны, то есть $ \angle ANM = \angle BCA $.

В нашем построении $ \angle ANM = \beta $, а $ \angle BCA = \alpha $. Так как мы изначально предположили, что треугольник $ \triangle ABC $ не равносторонний, то $ \alpha \neq \beta $. Следовательно, $ \angle ANM \neq \angle BCA $, и прямая $ MN $ не параллельна стороне $ BC $.

Таким образом, для любого не равностороннего равнобедренного треугольника можно построить такую прямую.

Например, возьмем равнобедренный треугольник с углами $ 72^\circ, 72^\circ, 36^\circ $. Пусть $ \angle A = \angle C = 72^\circ $ ($ \alpha = 72^\circ $) и $ \angle B = 36^\circ $ ($ \beta = 36^\circ $). Проведем прямую через точки $ M $ на $ AB $ и $ N $ на $ AC $ так, чтобы в $ \triangle AMN $ угол $ \angle A $ был равен $ 72^\circ $, $ \angle AMN = 72^\circ $ и $ \angle ANM = 36^\circ $. Такой треугольник $ \triangle AMN $ подобен $ \triangle ABC $. При этом прямая $ MN $ не параллельна $ BC $, так как угол $ \angle ANM = 36^\circ $ не равен углу $ \angle C = 72^\circ $.

Ответ: Да, может.

Условие 2015-2022.

473. Может ли прямая пересекать две стороны равнобедренного треугольника, отсекать от него треугольник, ему подобный, и не быть параллельной третьей стороне?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).