Номер 478, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 478, страница 98.

Условие 2023.

478. Хорда $MK$ окружности делится точкой $P$ на два отрезка длиной 8 см и 12 см. Найдите расстояние от точки $P$ до центра окружности, если её радиус равен 11 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть O — центр окружности, а R — её радиус. По условию, R = 11 см. Хорда MK делится точкой P на отрезки MP = 8 см и PK = 12 см.
1. Найдем полную длину хорды MK. Она равна сумме длин её отрезков: $MK = MP + PK = 8 + 12 = 20$ см.

2. Проведем из центра окружности O перпендикуляр OH на хорду MK. По свойству, перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Таким образом, точка H является серединой хорды MK.
Длина отрезка MH (и HK) равна половине длины хорды MK: $MH = HK = \frac{MK}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник OHM (с прямым углом при вершине H). Гипотенуза OM — это радиус окружности, поэтому $OM = R = 11$ см. Катет MH = 10 см. Найдем длину второго катета OH (расстояние от центра окружности до хорды) по теореме Пифагора:
$OM^2 = OH^2 + MH^2$
$OH^2 = OM^2 - MH^2 = 11^2 - 10^2 = 121 - 100 = 21$
$OH = \sqrt{21}$ см.

4. Точка P лежит на хорде MK. Нам известно, что $MP = 8$ см. Точка H также лежит на хорде MK, и $MH = 10$ см. Поскольку $MP < MH$, точка P находится между точками M и H. Найдем расстояние между точками P и H:
$PH = MH - MP = 10 - 8 = 2$ см.

5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник OHP (с прямым углом при вершине H, так как $OH \perp MK$). Катеты этого треугольника равны $OH = \sqrt{21}$ см и $PH = 2$ см. Гипотенуза OP — это искомое расстояние от точки P до центра окружности. Найдем OP по теореме Пифагора:
$OP^2 = OH^2 + PH^2$
$OP^2 = (\sqrt{21})^2 + 2^2 = 21 + 4 = 25$
$OP = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

Условие 2015-2022.

478. Хорда $MK$ окружности делится точкой $P$ на два отрезка длиной 8 см и 12 см. Найдите расстояние от точки $P$ до центра окружности, если её радиус равен 11 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).