Номер 484, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 484, страница 98.

Условие 2023.

484. В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 72$ см, отрезок $AD$ – высота, $AD = 24$ см. В данный треугольник вписан прямоугольник $MNKP$ так, что вершины $M$ и $P$ принадлежат стороне $BC$, а вершины $N$ и $K$ – сторонам $AB$ и $AC$ соответственно. Найдите стороны прямоугольника, если $MP : MN = 9 : 5$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи дан треугольник $ABC$, в котором основание $BC = 72$ см и высота $AD = 24$ см. В этот треугольник вписан прямоугольник $MNKP$ так, что вершины $M$ и $P$ лежат на стороне $BC$, а вершины $N$ и $K$ — на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Отношение сторон прямоугольника $MP : MN = 9 : 5$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда стороны прямоугольника можно выразить как $MP = 9x$ и $MN = 5x$.

Поскольку $MNKP$ является прямоугольником и его сторона $MP$ лежит на стороне $BC$ треугольника, то сторона $NK$ параллельна стороне $BC$ ($NK \parallel BC$).

Рассмотрим треугольники $ANK$ и $ABC$. Так как $NK \parallel BC$, то $\triangle ANK$ подобен $\triangle ABC$ по двум углам ($\angle A$ — общий, $\angle ANK = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $NK$, $BC$ и секущей $AB$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их оснований равно отношению их высот. Основание треугольника $ABC$ — это $BC$, а его высота — $AD$. Основание треугольника $ANK$ — это $NK$, а его высота — это отрезок $AE$, где $E$ — точка пересечения $AD$ и $NK$.

Длина стороны $NK$ прямоугольника равна длине стороны $MP$, то есть $NK = MP = 9x$.

Высота $MN$ прямоугольника равна длине отрезка $ED$, так как $NK \parallel BC$ и $AD \perp BC$. Следовательно, $ED = MN = 5x$.

Высоту $AE$ треугольника $ANK$ можно выразить через высоту $AD$ и высоту прямоугольника $MN$:
$AE = AD - ED = 24 - 5x$.

Теперь составим пропорцию, исходя из подобия треугольников:
$\frac{AE}{AD} = \frac{NK}{BC}$

Подставим в эту пропорцию известные и выраженные значения:
$\frac{24 - 5x}{24} = \frac{9x}{72}$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала можно упростить правую часть:
$\frac{24 - 5x}{24} = \frac{x}{8}$

Применим правило перекрестного умножения:
$8 \cdot (24 - 5x) = 24 \cdot x$
$192 - 40x = 24x$
$192 = 24x + 40x$
$192 = 64x$
$x = \frac{192}{64}$
$x = 3$

Теперь, зная коэффициент пропорциональности $x$, найдем длины сторон прямоугольника:
$MP = 9x = 9 \cdot 3 = 27$ см.
$MN = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 27 см и 15 см.

Условие 2015-2022.

484. В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 72$ см, $AD$ – высота, $AD=24$ см. В данный треугольник вписан прямоугольник $MNKP$ так, что вершины $M$ и $P$ принадлежат стороне $BC$, а вершины $N$ и $K$ – сторонам $AB$ и $AC$ соответственно. Найдите стороны прямоугольника, если $MP : MN = 9 : 5$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).