Номер 486, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 486, страница 98.

Условие 2023.

486. Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$, радиусы которых равны, пересекаются в точках $A$ и $B$. Отрезок $O_1O_2$ пересекает данные окружности в точках $C$ и $D$. Докажите, что четырёхугольник $ACBD$ – ромб.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства того, что четырехугольник ACBD является ромбом, необходимо установить равенство всех его сторон: $AC = CB = BD = DA$.

Прямая $O_1O_2$, проходящая через центры окружностей, является осью симметрии для всей фигуры, поскольку радиусы окружностей равны. Точки пересечения A и B симметричны относительно прямой $O_1O_2$. Точки C и D по условию лежат на этой прямой. Из свойства симметрии следует, что расстояния от любой точки на оси симметрии до симметричных точек A и B равны. Следовательно, $AC = CB$ и $AD = DB$. Таким образом, для завершения доказательства достаточно показать, что $AC = AD$.

Докажем равенство $AC = AD$, рассмотрев треугольники $\triangle AO_2C$ и $\triangle AO_1D$. Пусть $R$ — радиус данных окружностей. По условию, точки A и C лежат на окружности с центром $O_1$, значит $O_1A = R$ и $O_1C = R$. Точки A и D лежат на окружности с центром $O_2$, значит $O_2A = R$ и $O_2D = R$.

Сравним элементы этих треугольников. Во-первых, $AO_2 = R$ и $AO_1 = R$, следовательно, $AO_2 = AO_1$. Во-вторых, так как точки C и D лежат на отрезке $O_1O_2$, длина стороны $O_2C$ равна $O_1O_2 - O_1C = O_1O_2 - R$, а длина стороны $O_1D$ равна $O_1O_2 - O_2D = O_1O_2 - R$. Следовательно, $O_2C = O_1D$.

В-третьих, сравним углы $\angle AO_2C$ и $\angle AO_1D$. Рассмотрим треугольник $\triangle O_1AO_2$. Так как его стороны $O_1A$ и $O_2A$ обе равны $R$, он является равнобедренным с основанием $O_1O_2$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому $\angle AO_1O_2 = \angle AO_2O_1$. Поскольку C и D лежат на прямой $O_1O_2$, то $\angle AO_1D = \angle AO_1O_2$ и $\angle AO_2C = \angle AO_2O_1$, из чего следует, что $\angle AO_1D = \angle AO_2C$.

Мы установили, что в треугольниках $\triangle AO_2C$ и $\triangle AO_1D$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($AO_2 = AO_1$, $O_2C = O_1D$, и $\angle AO_2C = \angle AO_1D$). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AO_2C \cong \triangle AO_1D$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AC = AD$.

Так как мы ранее показали, что $AC = CB$ и $AD = DB$, то из равенства $AC = AD$ следует, что все стороны четырехугольника равны: $AC = CB = BD = DA$. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

486. Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$, радиусы которых равны, пересекаются в точках $A$ и $B$. Отрезок $O_1O_2$ пересекает данные окружности в точках $C$ и $D$. Докажите, что четырёхугольник $ACBD$ – ромб.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).