Номер 485, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 485, страница 98.

Условие 2023.

485. Найдите углы параллелограмма, если угол между его высотами, проведёнными из одной вершины, равен:

1) $20^\circ$;

2) $130^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть углы параллелограмма равны $ \alpha $ и $ \beta $, где $ \alpha $ — острый угол, а $ \beta $ — тупой. Сумма смежных углов параллелограмма равна 180°, то есть $ \alpha + \beta = 180° $.

Рассмотрим два возможных случая для высот, проведенных из одной вершины.

Случай 1: Высоты проведены из вершины тупого угла $ \beta $.

Пусть в параллелограмме $ ABCD $ угол $ B $ — тупой. Проведем из вершины $ B $ высоты $ BH $ на сторону $ AD $ и $ BK $ на сторону $ CD $. Рассмотрим четырехугольник $ BHDK $. По определению высоты, $ \angle BHD = 90° $ и $ \angle BKD = 90° $. Угол $ D $ в параллелограмме противоположен углу $ B $, поэтому $ \angle D = \angle B = \beta $. Сумма углов четырехугольника равна $ 360° $. Таким образом, угол между высотами $ \angle HBK $ можно найти как:

$ \angle HBK = 360° - \angle BHD - \angle D - \angle BKD = 360° - 90° - \beta - 90° = 180° - \beta $

Поскольку $ \alpha = 180° - \beta $, то $ \angle HBK = \alpha $.Следовательно, угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

Случай 2: Высоты проведены из вершины острого угла $ \alpha $.

Пусть в параллелограмме $ ABCD $ угол $ A $ — острый. Проведем из вершины $ A $ высоты $ AH $ на сторону $ BC $ и $ AK $ на сторону $ DC $. Рассмотрим четырехугольник $ AHCK $. По определению высоты, $ \angle AHC = 90° $ и $ \angle AKC = 90° $. Угол $ C $ в параллелограмме противоположен углу $ A $, поэтому $ \angle C = \angle A = \alpha $. Сумма углов четырехугольника $ AHCK $ равна $ 360° $. Тогда угол между высотами $ \angle HAK $ равен:

$ \angle HAK = 360° - \angle AHC - \angle C - \angle AKC = 360° - 90° - \alpha - 90° = 180° - \alpha $

Поскольку $ \beta = 180° - \alpha $, то $ \angle HAK = \beta $.Следовательно, угол между высотами, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

Таким образом, если данный угол между высотами острый, он равен острому углу параллелограмма, а если тупой — то тупому.

1)

Угол между высотами равен $ 20° $. Так как этот угол острый, он равен острому углу параллелограмма.

Острый угол $ \alpha = 20° $.

Тупой угол $ \beta $ равен $ 180° - \alpha = 180° - 20° = 160° $.

Углы параллелограмма — это две пары равных углов.

Ответ: $ 20°, 160°, 20°, 160° $.

2)

Угол между высотами равен $ 130° $. Так как этот угол тупой, он равен тупому углу параллелограмма.

Тупой угол $ \beta = 130° $.

Острый угол $ \alpha $ равен $ 180° - \beta = 180° - 130° = 50° $.

Углы параллелограмма — это две пары равных углов.

Ответ: $ 50°, 130°, 50°, 130° $.

Условие 2015-2022.

485. Найдите углы параллелограмма, если угол между его высотами, проведёнными из одной вершины, равен:

1) $20^\circ$

2) $130^\circ$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).