Номер 483, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 483, страница 98.

Условие 2023.

483. В треугольник $ABC$ вписан квадрат так, что две его соседние вершины принадлежат стороне $AC$, а две другие — сторонам $AB$ и $BC$ соответственно. Найдите сторону квадрата, если $AC = a$, а высота треугольника, проведённая к стороне $AC$, равна $h$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AC = a$ и высота, проведенная к ней, $BH = h$.

В треугольник вписан квадрат $KLMN$ так, что вершины $K$ и $L$ лежат на стороне $AC$, вершина $N$ — на стороне $AB$, а вершина $M$ — на стороне $BC$. Обозначим сторону квадрата через $x$. Тогда $NK = KL = LM = MN = x$.

Поскольку сторона квадрата $MN$ параллельна стороне $KL$, которая лежит на прямой $AC$, то $MN \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $NBM$. Угол при вершине $B$ у них общий. Так как $MN \parallel AC$, то углы при основаниях этих треугольников соответственно равны как соответственные: $\angle BNM = \angle BAC$ и $\angle BMN = \angle BCA$. Следовательно, треугольник $NBM$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle NBM \sim \triangle ABC$) по двум углам.

Проведем в треугольнике $NBM$ высоту $BP$ из вершины $B$ на сторону $NM$. Так как $NM \parallel AC$, высота $BP$ будет лежать на высоте $BH$ треугольника $ABC$.

Длина высоты $BH$ равна $h$. Длина отрезка $PH$ равна стороне квадрата $x$, так как $PH$ — это расстояние между параллельными прямыми $NM$ и $AC$.

Тогда длина высоты $BP$ треугольника $NBM$ равна $BP = BH - PH = h - x$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их высот равно отношению их оснований:

$$ \frac{BP}{BH} = \frac{NM}{AC} $$

Подставим известные значения в это соотношение:

$$ \frac{h-x}{h} = \frac{x}{a} $$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:

$$ a(h-x) = hx $$

$$ ah - ax = hx $$

Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в правую часть:

$$ ah = hx + ax $$

Вынесем $x$ за скобки:

$$ ah = x(h+a) $$

Отсюда находим $x$:

$$ x = \frac{ah}{a+h} $$

Ответ:

Сторона квадрата равна $ \frac{ah}{a+h} $.

Условие 2015-2022.

483. В треугольник $ABC$ вписан квадрат так, что две его соседние вершины принадлежат стороне $AC$, а две другие – сторонам $AB$ и $BC$ соответственно. Найдите сторону квадрата, если $AC = a$, а высота, проведённая к стороне $AC$, равна $h$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).