Номер 487, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 487, страница 99.

Условие 2023.

487. Один из углов прямоугольной трапеции равен $135^{\circ}$, средняя линия — 21 см, а основания относятся как $5 : 2$. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где $AD$ и $BC$ — основания ($AD || BC$), а $AB$ — меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям ($∠A = ∠B = 90°$). В этом случае $CD$ — большая боковая сторона.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180°$. Так как $∠A = 90°$ и $∠B = 90°$, данный в условии угол $135°$ не может быть при стороне $AB$. Следовательно, это один из углов при боковой стороне $CD$. Пусть $∠C = 135°$. Тогда угол $∠D = 180° - 135° = 45°$. Таким образом, углы трапеции равны $90°, 90°, 135°, 45°$.

1. Найдем длины оснований трапеции.

Средняя линия трапеции ($m$) вычисляется как полусумма ее оснований: $m = \frac{AD+BC}{2}$. По условию, $m = 21$ см, а основания относятся как $5:2$. Обозначим $AD = 5x$ и $BC = 2x$. Подставим эти значения в формулу средней линии: $21 = \frac{5x + 2x}{2}$ $21 = \frac{7x}{2}$ Умножим обе части уравнения на 2: $42 = 7x$ $x = \frac{42}{7} = 6$ Теперь можем найти длины оснований: Большее основание $AD = 5 \cdot 6 = 30$ см. Меньшее основание $BC = 2 \cdot 6 = 12$ см.

2. Найдем меньшую боковую сторону.

Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции ($AB$) является ее высотой. Опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Получится прямоугольник $ABCH$, в котором $AB = CH$, и прямоугольный треугольник $CHD$. Длина отрезка $HD$ равна разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC = 30 - 12 = 18$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. Мы знаем, что $∠D = 45°$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$, поэтому $∠HCD = 90° - ∠D = 90° - 45° = 45°$. Поскольку углы при основании $CD$ треугольника $CHD$ равны ($∠D = ∠HCD = 45°$), этот треугольник является равнобедренным, а значит, его катеты равны: $CH = HD$. Следовательно, $CH = 18$ см.

Так как $AB = CH$, то меньшая боковая сторона $AB$ равна 18 см.

Ответ: 18 см.

Условие 2015-2022.

487. Один из углов прямоугольной трапеции равен $135^\circ$, средняя линия — 21 см, а основания относятся как 5 : 2. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).