Номер 3, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Теорема Менелая. Когда сделаны уроки. Глава 2. Подобие треугольников - номер 3, страница 101.

Условие 2023.

3. В точках $A$, $B$, $C$ к окружности проведены касательные (рис. 169). Докажите, что точки $M$, $N$ и $P$ коллинеарны.

Указание. Применяя теорему Менелая к треугольнику $ABC$, воспользуйтесь ключевой задачей 2 из § 13.

Рис. 169

Решение 6 (2023).

Для доказательства коллинеарности точек M, N и P воспользуемся обратной теоремой Менелая для треугольника ABC. Точки M, N, P лежат на прямых, содержащих стороны этого треугольника. Согласно обратной теореме Менелая, если выполняется равенство

$$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1 $$

то точки M, N, P лежат на одной прямой.

В условии задачи точки M, N, P определяются как точки пересечения касательных к описанной окружности треугольника ABC в его вершинах со сторонами (или их продолжениями). Несмотря на возможную неточность в обозначениях на рисунке, стандартная постановка такой задачи, соответствующая указанию, такова:

• Точка M — это точка пересечения прямой AB и касательной к окружности, проведенной в точке C.
• Точка N — это точка пересечения прямой BC и касательной к окружности, проведенной в точке A.
• Точка P — это точка пересечения прямой AC и касательной к окружности, проведенной в точке B.

Найдем каждое из соотношений в формуле Менелая.

1. Найдем отношение $\frac{AM}{MB}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$. Отношение их площадей равно отношению их оснований AM и MB, так как они имеют общую высоту, проведенную из вершины C (или из точки на прямой MC, если C не является вершиной):

$$ \frac{AM}{MB} = \frac{S_{\triangle AMC}}{S_{\triangle BMC}} $$

Площади этих треугольников можно выразить через длины двух сторон и синус угла между ними:

$$ S_{\triangle AMC} = \frac{1}{2} AC \cdot MC \cdot \sin(\angle ACM) $$

$$ S_{\triangle BMC} = \frac{1}{2} BC \cdot MC \cdot \sin(\angle BCM) $$

Тогда отношение площадей равно:

$$ \frac{AM}{MB} = \frac{AC \cdot \sin(\angle ACM)}{BC \cdot \sin(\angle BCM)} $$

По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной MC и хордой AC равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду: $\angle ACM = \angle ABC$. Обозначим углы треугольника ABC как $\angle A, \angle B, \angle C$. Тогда $\angle ACM = \angle B$.

Аналогично, угол между касательной MC и хордой BC равен вписанному углу $\angle BAC = \angle A$. То есть, $\angle BCM = \angle A$.

Подставим значения углов в формулу для отношения:

$$ \frac{AM}{MB} = \frac{AC}{BC} \cdot \frac{\sin B}{\sin A} $$

По теореме синусов для треугольника ABC имеем $\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$. Отсюда $\frac{\sin B}{\sin A} = \frac{AC}{BC}$.

Подставляя это в наше выражение, получаем:

$$ \frac{AM}{MB} = \frac{AC}{BC} \cdot \frac{AC}{BC} = \frac{AC^2}{BC^2} $$

Это и есть результат, который, вероятно, представляет собой "ключевую задачу 2 из § 13".

2. Найдем отношения $\frac{BN}{NC}$ и $\frac{CP}{PA}$.

Рассуждая аналогично для других пар точек и сторон, получим:

Для точки N (пересечение касательной в точке A с прямой BC):

$$ \frac{BN}{NC} = \frac{AB^2}{AC^2} $$

Для точки P (пересечение касательной в точке B с прямой AC):

$$ \frac{CP}{PA} = \frac{BC^2}{AB^2} $$

3. Проверим выполнение условия Менелая.

Перемножим полученные отношения:

$$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PA} = \frac{AC^2}{BC^2} \cdot \frac{AB^2}{AC^2} \cdot \frac{BC^2}{AB^2} $$

Сокращая одинаковые члены в числителе и знаменателе, получаем:

$$ \frac{AC^2}{AC^2} \cdot \frac{BC^2}{BC^2} \cdot \frac{AB^2}{AB^2} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $$

Равенство выполняется. Следовательно, по обратной теореме Менелая точки M, N и P лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

3. В точках $A, B, C$ к окружности проведены касательные (рис. 157). Докажите, что точки $M, N$ и $P$ коллинеарны.

Указание. Применяя теорему Менелая к треугольнику $ABC$, воспользуйтесь ключевой задачей $2$ § 13.

Рис. 156

Рис. 157

Решение 1 (2015-2022).