Номер 1, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Теорема Менелая. Когда сделаны уроки. Глава 2. Подобие треугольников - номер 1, страница 100.

Условие 2023.

Упражнения

1. Общие касательные к трём окружностям пересекаются в точках $A, B$ и $C$ (рис. 167). Докажите, что эти точки коллинеарны. Указание. Примените теорему Менелая к треугольнику $O_1O_2O_3$ и точкам $A, B, C$, которые лежат на продолжениях его сторон.

Рис. 167

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольник, образованный центрами трёх окружностей, – $ \triangle O_1O_2O_3 $. Пусть радиусы окружностей равны $r_1, r_2, r_3$ соответственно.

Точки A, B и C по условию являются точками пересечения общих касательных. Каждая такая точка лежит на линии, соединяющей центры соответствующих окружностей.

• Точка A — точка пересечения общих касательных к окружностям с центрами $O_2$ и $O_3$. Следовательно, точка A лежит на прямой $O_2O_3$.
• Точка B — точка пересечения общих касательных к окружностям с центрами $O_1$ и $O_3$. Следовательно, точка B лежит на прямой $O_1O_3$.
• Точка C — точка пересечения общих касательных к окружностям с центрами $O_1$ и $O_2$. Следовательно, точка C лежит на прямой $O_1O_2$.

Нам нужно доказать, что точки A, B и C коллинеарны, то есть лежат на одной прямой. Воспользуемся теоремой, обратной к теореме Менелая, для треугольника $ \triangle O_1O_2O_3 $ и точек A, B, C, лежащих на продолжениях его сторон.

Согласно обратной теореме Менелая, точки A, B, C коллинеарны, если выполняется следующее соотношение:

$$ \frac{O_3A}{AO_2} \cdot \frac{O_2C}{CO_1} \cdot \frac{O_1B}{BO_3} = 1 $$

Найдём каждое из этих отношений.

1. Отношение $ \frac{O_3A}{AO_2} $

Точка A является центром гомотетии (подобия), которая переводит окружность с центром $O_2$ в окружность с центром $O_3$. Проведём радиусы $O_2K_2$ и $O_3K_3$ в точки касания на одной из общих касательных. Эти радиусы перпендикулярны касательной, а значит, параллельны друг другу ($O_2K_2 \parallel O_3K_3$).
Рассмотрим треугольники $ \triangle AO_2K_2 $ и $ \triangle AO_3K_3 $. Они подобны по двум углам (общий угол при вершине A и прямые углы $ \angle AK_2O_2 $ и $ \angle AK_3O_3 $). Из подобия следует:

$$ \frac{AO_3}{AO_2} = \frac{O_3K_3}{O_2K_2} = \frac{r_3}{r_2} $$ Так как точка A лежит на продолжении отрезка $O_2O_3$, то $O_3A = AO_3$. Следовательно:

$$ \frac{O_3A}{AO_2} = \frac{r_3}{r_2} $$

2. Отношение $ \frac{O_2C}{CO_1} $

Аналогично, точка C является центром гомотетии для окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$. Рассматривая подобные треугольники, образованные радиусами к общей касательной, получаем:

$$ \frac{CO_2}{CO_1} = \frac{r_2}{r_1} $$ Так как точка C лежит на продолжении отрезка $O_1O_2$, то $O_2C = CO_2$. Следовательно:

$$ \frac{O_2C}{CO_1} = \frac{r_2}{r_1} $$

3. Отношение $ \frac{O_1B}{BO_3} $

Точно так же, точка B является центром гомотетии для окружностей с центрами $O_3$ и $O_1$. Получаем соотношение:

$$ \frac{BO_1}{BO_3} = \frac{r_1}{r_3} $$ Так как точка B лежит на продолжении отрезка $O_3O_1$, то $O_1B = BO_1$. Следовательно:

$$ \frac{O_1B}{BO_3} = \frac{r_1}{r_3} $$

Проверка условия теоремы Менелая

Теперь подставим найденные отношения в исходное выражение:

$$ \frac{O_3A}{AO_2} \cdot \frac{O_2C}{CO_1} \cdot \frac{O_1B}{BO_3} = \frac{r_3}{r_2} \cdot \frac{r_2}{r_1} \cdot \frac{r_1}{r_3} $$

Сокращая радиусы в числителе и знаменателе, получаем:

$$ \frac{r_3 \cdot r_2 \cdot r_1}{r_2 \cdot r_1 \cdot r_3} = 1 $$

Так как произведение отношений равно 1, и все три точки A, B, C лежат на продолжениях сторон треугольника $ \triangle O_1O_2O_3 $, то по обратной теореме Менелая точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

1. Общие касательные к трём окружностям пересекаются в точках $A$, $B$ и $C$ (рис. 155). Докажите, что эти точки коллинеарны.

Указание. Примените теорему Менелая к треугольнику $O_1O_2O_3$ и точкам $A$, $B$, $C$, которые лежат на продолжениях его сторон.

Решение 1 (2015-2022).