Номер 2, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Теорема Менелая. Когда сделаны уроки. Глава 2. Подобие треугольников - номер 2, страница 101.

Условие 2023.

2. Окружность с центром $O_1$ касается двух окружностей с центрами $O_2$ и $O_3$ в точках $B$ и $A$ соответственно (рис. 168). Докажите, что прямой $AB$ принадлежит точка $C$ – точка пересечения общих касательных к окружностям с центрами $O_2$ и $O_3$.

Рис. 168

Решение 6 (2023).

Для доказательства воспользуемся понятием гомотетии (центрального подобия) и теоремой о трех центрах гомотетии.

Обозначим окружности с центрами $O_1$, $O_2$ и $O_3$ как $\omega_1$, $\omega_2$ и $\omega_3$ соответственно.

Центр гомотетии двух окружностей — это точка, являющаяся центром преобразования гомотетии, которое переводит одну окружность в другую. У двух неконцентрических окружностей есть два центра гомотетии:

• Внешний центр гомотетии — точка пересечения общих внешних касательных.
• Внутренний центр гомотетии — точка пересечения общих внутренних касательных.

Если окружности касаются, то точка касания является одним из их центров гомотетии: внутренним при внешнем касании и внешним при внутреннем касании.

Рассмотрим центры гомотетии для заданных пар окружностей:

1. Пара окружностей $\omega_2$ и $\omega_3$. По условию, точка $C$ является точкой пересечения их общих внешних касательных. Следовательно, точка $C$ является внешним центром гомотетии для окружностей $\omega_2$ и $\omega_3$.

2. Пара окружностей $\omega_1$ и $\omega_3$. Они касаются в точке $A$. Судя по рисунку, касание является внешним. Следовательно, точка $A$ является их внутренним центром гомотетии.

3. Пара окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Они касаются в точке $B$. Касание также является внешним. Следовательно, точка $B$ является их внутренним центром гомотетии.

Теперь применим теорему о трех центрах гомотетии (теорема Монжа). Она гласит, что три центра гомотетии для трех пар окружностей лежат на одной прямой, если среди них один внешний и два внутренних, либо все три внешние.

В нашем случае мы имеем один внешний центр гомотетии ($C$) и два внутренних ($A$ и $B$). Согласно теореме, точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.

Таким образом, точка $C$ принадлежит прямой, проходящей через точки $A$ и $B$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка $C$ лежит на прямой $AB$ в соответствии с теоремой Монжа о трех центрах гомотетии, поскольку точки $A$, $B$ и $C$ являются центрами гомотетии для трех пар окружностей (A и B — внутренние, C — внешний), а такие три центра всегда коллинеарны.

Условие 2015-2022.

2. Окружность с центром $O_1$ касается двух окружностей с центрами $O_2$ и $O_3$ в точках $B$ и $A$ соответственно (рис. 156). Докажите, что прямой $AB$ принадлежит точка $C$ – точка пересечения общих касательных к окружностям с центрами $O_2$ и $O_3$.

Рис. 156

Решение 1 (2015-2022).