Номер 488, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Первый признак подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 488, страница 99.

Условие 2023.

488. Как два равных выпуклых четырёхугольника разрезать на части, из которых можно составить параллелограмм?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения этой задачи необходимо разрезать каждый из двух равных выпуклых четырёхугольников на две части, а затем из получившихся четырёх частей сложить параллелограмм. Существует несколько способов, один из самых наглядных следующий:

1. Возьмём первый выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Найдём середины двух его противоположных сторон, например, $M$ — середину стороны $AB$, и $N$ — середину стороны $CD$.

2. Проведём разрез по отрезку $MN$, который называется бимедианой четырёхугольника. Этот разрез делит четырёхугольник $ABCD$ на две части: $AMND$ и $MBCN$.

3. Повторим ту же самую операцию со вторым, равным ему, четырёхугольником $A'B'C'D'$. Найдём середины $M'$ на $A'B'$ и $N'$ на $C'D'$ и разрежем его по бимедиане $M'N'$. В результате получим ещё две части, конгруэнтные частям первого четырёхугольника: $A'M'N'D'$ и $M'B'C'N'$.

4. Теперь у нас есть четыре части: две части одного вида (назовём их тип 1: $AMND$ и $A'M'N'D'$) и две части другого вида (тип 2: $MBCN$ и $M'B'C'N'$).

5. Сложим из этих четырёх частей параллелограмм. Для этого:

• Возьмём одну часть типа 2, например, $MBCN$.
• К её стороне $MB$ приложим сторону $M'A'$ части $A'M'N'D'$ (тип 1), предварительно повернув её на 180 градусов. Так как $M$ и $M'$ — середины равных сторон $AB$ и $A'B'$, то отрезки $MB$ и $M'A'$ равны.
• К стороне $NC$ части $MBCN$ приложим сторону $N'D'$ второй части типа 1 ($A'M'N'D'$) после её поворота.
• Оставшиеся две части (одна типа 1 и одна типа 2) аналогичным образом составляют вторую половину параллелограмма.

Более простой способ сборки показан на рисунке ниже. Возьмём две части разного типа, например $AMND$ и $MBCN$. Повернём часть $AMND$ на 180° вокруг точки $N$. Вершина $D$ совместится с $C$, а отрезок $ND$ ляжет на $NC$. Получится новый многоугольник, который является параллелограммом. Сделав то же самое со второй парой частей, мы получим второй такой же параллелограмм. Приложив эти два параллелограмма друг к другу по равной стороне, мы получим итоговый, больший параллелограмм.

Однако, самый элегантный способ сборки всех четырех частей в один параллелограмм показан на схеме:

На схеме две части $P_1$ ($AMND$ и его копия) и две части $P_2$ ($MBCN$ и его копия) сложены вместе. Противоположные стороны получившейся фигуры параллельны и равны. Например, верхняя и нижняя стороны равны $AD+BC$. Левая и правая стороны также равны и параллельны, что доказывается через равенство векторов и углов при сборке.

Ответ: Нужно в каждом из двух четырёхугольников соединить отрезком середины какой-либо пары противоположных сторон и разрезать четырёхугольники по этим отрезкам. Из получившихся четырёх частей можно составить параллелограмм, как показано на рисунке.

Условие 2015-2022.

488. Как два равных выпуклых четырёхугольника разрезать на части, из которых можно составить параллелограмм?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).