Номер 1, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Теорема Птоломея. Когда сделаны уроки. Глава 2. Подобие треугольников - номер 1, страница 103.

Условие 2023.

1. Пусть $M$ — произвольная точка окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$. Докажите, что один из отрезков $MA$, $MB$, $MC$ равен сумме двух других.

Решение 6 (2023).

Это утверждение известно как теорема Помпею. Для её доказательства удобно использовать теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин его противолежащих сторон равна произведению длин его диагоналей.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ и описанная около него окружность. Точка $M$ — произвольная точка на этой окружности. Точки $A, B, C$ и $M$ всегда лежат на одной окружности, а значит, образуют вписанный четырёхугольник.

Рассмотрим случай, когда точка $M$ находится на дуге $BC$, не содержащей точку $A$. В этом случае точки образуют вписанный четырёхугольник $ABMC$. Его диагоналями являются отрезки $MA$ и $BC$, а противолежащими сторонами — пары $AB, MC$ и $AC, MB$.

Согласно теореме Птолемея для четырёхугольника $ABMC$ справедливо равенство:

$$MA \cdot BC = AB \cdot MC + AC \cdot MB$$

По условию, треугольник $ABC$ — равносторонний. Обозначим длину его стороны как $a$. Тогда $AB = BC = AC = a$.

Подставим эти значения в полученное равенство:

$$MA \cdot a = a \cdot MC + a \cdot MB$$

Поскольку длина стороны треугольника $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$$MA = MC + MB$$

Таким образом, для точки $M$, лежащей на дуге $BC$, отрезок $MA$ равен сумме отрезков $MB$ и $MC$.

Аналогично можно рассмотреть два других случая:

• Если точка $M$ лежит на дуге $AC$, не содержащей точку $B$, то, применив теорему Птолемея к четырёхугольнику $AMBC$, мы получим $MB = MA + MC$.
• Если точка $M$ лежит на дуге $AB$, не содержащей точку $C$, то для четырёхугольника $AMCB$ получим $MC = MA + MB$.

Если точка $M$ совпадает с одной из вершин треугольника, например с вершиной $C$, то отрезок $MC$ имеет нулевую длину ($MC=0$), а отрезки $MA$ и $MB$ равны стороне треугольника $a$. Равенство $MB = MA + MC$ превращается в $a = a + 0$, что является верным.

Следовательно, для любого положения точки $M$ на окружности один из отрезков $MA, MB, MC$ равен сумме двух других. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

1. Пусть $M$ – произвольная точка окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$. Докажите, что один из отрезков $MA$, $MB$, $MC$ равен сумме двух других.

Решение 1 (2015-2022).