Номер 491, страница 105 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 491, страница 105.

Условие 2023.

491. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 21$ см, $AC = 42$ см, $BC = 28$ см (рис. 176). На продолжениях отрезков $AB$ и $BC$ за точку $B$ отложены

Рис. 176

соответственно отрезки $BM$ и $BK$, $BM = 8$ см, $BK = 6$ см. Найдите отрезок $KM$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $KBM$.

По условию задачи, точка $K$ лежит на продолжении отрезка $AB$ за точку $B$, а точка $M$ — на продолжении отрезка $BC$ за точку $B$. Это означает, что углы $\angle ABC$ и $\angle KBM$ являются вертикальными, а следовательно, они равны: $\angle ABC = \angle KBM$.

Теперь проверим пропорциональность сторон, образующих эти углы в треугольниках $ABC$ и $KBM$.

Найдём отношение стороны $BK$ треугольника $KBM$ к стороне $AB$ треугольника $ABC$:

$\frac{BK}{AB} = \frac{6}{21} = \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{2}{7}$

Найдём отношение стороны $BM$ треугольника $KBM$ к стороне $BC$ треугольника $ABC$:

$\frac{BM}{BC} = \frac{8}{28} = \frac{2 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{2}{7}$

Так как отношения сторон равны ($\frac{BK}{AB} = \frac{BM}{BC}$) и углы между этими сторонами также равны ($\angle KBM = \angle ABC$), то треугольники $KBM$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует, что отношение всех соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k = \frac{2}{7}$. Сторона $KM$ в треугольнике $KBM$ соответствует стороне $AC$ в треугольнике $ABC$. Следовательно:

$\frac{KM}{AC} = \frac{2}{7}$

Теперь можем найти длину отрезка $KM$, зная, что $AC = 42$ см:

$KM = AC \cdot \frac{2}{7} = 42 \cdot \frac{2}{7} = \frac{42 \cdot 2}{7} = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

Условие 2015-2022.

491. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 21$ см, $AC = 42$ см, $BC = 28$ см (рис. 164). На продолжениях отрезков $AB$ и $BC$ за точку $B$ отложены

Рис. 162 Рис. 163 Рис. 164

соответственно отрезки $BM$ и $BK$, $BM = 8$ см, $BK = 6$ см. Найдите отрезок $KM$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).