Номер 492, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 492, страница 106.

Условие 2023.

492. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O (рис. 177), $AO = 24 \text{ см}$, $BO = 16 \text{ см}$, $CO = 15 \text{ см}$, $OD = 10 \text{ см}$, $\angle ACO = 72^\circ$. Найдите $\angle BDO$.

Рис. 177

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Найдите ∠BDO.

Рассмотрим два треугольника, которые образовались при пересечении отрезков $AB$ и $CD$: $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $.

1. Углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $ равны, так как они являются вертикальными.

2. Проверим, пропорциональны ли стороны, образующие эти углы. Для этого найдем отношения длин соответствующих сторон:
$ \frac{AO}{BO} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} $
$ \frac{CO}{DO} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} $

3. Так как отношения сторон равны ($ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} $) и углы между этими сторонами также равны ($ \angle AOC = \angle BOD $), то треугольники $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

В подобных треугольниках соответственные углы равны. Углу $ \angle ACO $ треугольника $ \triangle AOC $ соответствует угол $ \angle BDO $ треугольника $ \triangle BOD $. Следовательно, $ \angle BDO = \angle ACO $.

По условию задачи нам известно, что $ \angle ACO = 72^{\circ} $. Значит, искомый угол $ \angle BDO $ тоже равен $ 72^{\circ} $.

Ответ: $ 72^{\circ} $.

Условие 2015-2022.

Рис. 165

492. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 165). $AO = 24$ см, $BO = 16$ см,
$CO = 15$ см, $OD = 10$ см, $\angle ACO = 72^\circ$.
Найдите $\angle BDO$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).