Номер 497, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 497, страница 106.

Условие 2023.

497. В треугольниках $DEF$ и $MKN$ известно, что $\angle E = \angle K$, а каждая из сторон $DE$ и $EF$ в 2,5 раза больше сторон $MK$ и $KN$ соответственно.

Найдите стороны $DF$ и $MN$, если их разность равна 30 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольники $DEF$ и $MKN$. Согласно условию задачи, у них равны углы: $\angle E = \angle K$.

Также известно, что каждая из сторон $DE$ и $EF$ в 2,5 раза больше сторон $MK$ и $KN$ соответственно. Это можно записать в виде отношений:

$\frac{DE}{MK} = 2,5$

$\frac{EF}{KN} = 2,5$

Таким образом, две стороны одного треугольника ($DE$ и $EF$) пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($MK$ и $KN$), а углы, заключенные между этими сторонами ($\angle E$ и $\angle K$), равны. По второму признаку подобия треугольников, отсюда следует, что $\triangle DEF \sim \triangle MKN$.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон, то есть $k = 2,5$. Для подобных треугольников отношение всех соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. Следовательно, для третьих сторон $DF$ и $MN$ также выполняется соотношение:

$\frac{DF}{MN} = 2,5$

Из этого соотношения выразим сторону $DF$:

$DF = 2,5 \cdot MN$

По условию, разность длин сторон $DF$ и $MN$ равна 30 см. Поскольку $DF = 2,5 \cdot MN$, очевидно, что $DF > MN$. Значит, мы можем составить уравнение:

$DF - MN = 30$

Подставим в это уравнение выражение для $DF$, полученное ранее:

$2,5 \cdot MN - MN = 30$

$1,5 \cdot MN = 30$

Теперь найдем длину стороны $MN$:

$MN = \frac{30}{1,5} = \frac{300}{15} = 20$ см.

Зная длину $MN$, можем найти длину стороны $DF$:

$DF = 2,5 \cdot MN = 2,5 \cdot 20 = 50$ см.

Ответ: $DF = 50$ см, $MN = 20$ см.

Условие 2015-2022.

497. В треугольниках $DEF$ и $MKN$ известно, что $\angle E = \angle K$, а каждая из сторон $DE$ и $EF$ в 2,5 раза больше сторон $MK$ и $KN$ соответственно.

Найдите стороны $DF$ и $MN$, если их разность равна 30 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).