Номер 503, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 503, страница 107.

Условие 2023.

503. На медиане BM треугольника ABC отметили точку K так, что

$ \angle MKC = \angle BCM $. Докажите, что

$ \angle AKM = \angle BAM $.

Рис. 178

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольники $\triangle BCM$ и $\triangle CKM$. У них есть общий угол при вершине $M$, то есть $\angle BMC = \angle KMC$. По условию задачи дано, что $\angle BCM = \angle MKC$. Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle BCM$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle CKM$), эти треугольники подобны по признаку подобия по двум углам.

Запишем соответствие вершин для подобных треугольников $\triangle BCM$ и $\triangle CKM$:

• Общая вершина $M$ в $\triangle BCM$ соответствует вершине $M$ в $\triangle CKM$.
• Вершина $C$ в $\triangle BCM$ (образующая угол $\angle BCM$) соответствует вершине $K$ в $\triangle CKM$ (образующей угол $\angle MKC$).
• Следовательно, третья вершина $B$ в $\triangle BCM$ соответствует третьей вершине $C$ в $\triangle CKM$.

Таким образом, мы установили подобие $\triangle BCM \sim \triangle CKM$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{BM}{CM} = \frac{CM}{KM} = \frac{BC}{CK} $

Из первой части этой пропорции, $\frac{BM}{CM} = \frac{CM}{KM}$, следует равенство $CM^2 = BM \cdot KM$.

По условию, отрезок $BM$ является медианой треугольника $\triangle ABC$, проведенной к стороне $AC$. Это означает, что точка $M$ — середина стороны $AC$, и, следовательно, длины отрезков $AM$ и $CM$ равны: $AM = CM$.

Подставим $AM$ вместо $CM$ в равенство, полученное ранее: $ AM^2 = BM \cdot KM $

Это равенство можно переписать в виде пропорции: $ \frac{AM}{KM} = \frac{BM}{AM} $

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BAM$ и $\triangle AKM$. У этих треугольников есть общий угол $\angle BMA$ (или $\angle AMK$). Стороны, образующие этот угол в $\triangle BAM$, это $BM$ и $AM$. Стороны, образующие этот же угол в $\triangle AKM$, это $AM$ и $KM$.

Как мы показали выше, отношения этих сторон равны: $\frac{BM}{AM} = \frac{AM}{KM}$. Таким образом, треугольники $\triangle BAM$ и $\triangle AKM$ подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Из подобия $\triangle BAM \sim \triangle AKM$ следует равенство их соответствующих углов. Углу $\angle BAM$ в первом треугольнике соответствует угол $\angle AKM$ во втором треугольнике. Следовательно, $\angle BAM = \angle AKM$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: равенство $\angle AKM = \angle BAM$ доказано.

Условие 2015-2022.

503. На медиане $BM$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$ так, что $\angle MKC = \angle BCM$. Докажите, что $\angle AKM = \angle BAM$. Рис. 166

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).