Номер 502, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 502, страница 107.

Условие 2023.

502. Из точки A проведены лучи $AM$ и $AN$, не лежащие на одной прямой. На луче $AM$ отмечены точки $H$ и $B$, а на луче $AN$ — точки $C$ и $D$ так, что $AH \cdot AB = AC \cdot AD$. Докажите, что точки $H, B, C$ и $D$ лежат на одной окружности.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства того, что точки H, B, C и D лежат на одной окружности, мы воспользуемся свойством вписанного четырехугольника. Сначала докажем подобие двух треугольников.

По условию задачи дано равенство:$AH \cdot AB = AC \cdot AD$

Это равенство можно представить в виде пропорции, разделив обе части на $AD \cdot AB$ (мы можем это сделать, так как длины отрезков не равны нулю):$\frac{AH}{AD} = \frac{AC}{AB}$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AHD$ и $\triangle ACB$.

1. Угол $\angle A$ (или, что то же самое, $\angle HAD$ и $\angle CAB$) является общим для этих двух треугольников, так как лучи $AM$ и $AN$ выходят из одной точки A.
2. Стороны, прилежащие к этому общему углу, пропорциональны, как мы показали выше: $\frac{AH}{AD} = \frac{AC}{AB}$.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $AHD$ подобен треугольнику $ACB$:$\triangle AHD \sim \triangle ACB$

Из подобия треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, нас интересует равенство:$\angle ADH = \angle ABC$

Теперь рассмотрим четырехугольник, образованный точками H, B, C, D. Назовем его $BCDH$. Чтобы доказать, что этот четырехугольник можно вписать в окружность, достаточно показать, что выполняется одно из свойств вписанных четырехугольников. Например, что сумма противоположных углов равна $180^\circ$.

Рассмотрим сумму противоположных углов $\angle HDC$ и $\angle HBC$.

• Угол $\angle HDC$ четырехугольника $BCDH$ является смежным с углом $\angle ADH$, так как точки A, C, D лежат на одной прямой (луче AN). Таким образом: $\angle HDC = 180^\circ - \angle ADH$
• Угол $\angle HBC$ четырехугольника $BCDH$ совпадает с углом $\angle ABC$. (Это верно, если точки на луче расположены в порядке A-B-H. Если порядок A-H-B, то $\angle HBC = 180^\circ - \angle ABC$, а $\angle HDC$ будет равен $\angle ADH$, и итоговый результат будет тем же. Рассмотрим один из случаев, так как результат не зависит от порядка точек на лучах). Пусть порядок A-H-B и A-C-D. Тогда угол четырехугольника при вершине B - это $\angle HBC = 180^\circ - \angle ABC$, а угол при вершине D - это $\angle HDC = \angle ADH$. Их сумма: $\angle HBC + \angle HDC = (180^\circ - \angle ABC) + \angle ADH$.

Так как из подобия мы ранее установили, что $\angle ABC = \angle ADH$, подставим это в полученное выражение:$\angle HBC + \angle HDC = (180^\circ - \angle ADH) + \angle ADH = 180^\circ$

Поскольку сумма противоположных углов четырехугольника $BCDH$ равна $180^\circ$, вокруг него можно описать окружность. Это означает, что все его вершины — точки B, C, D и H — лежат на одной окружности.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

502. Из точки A проведены два луча AM и AN. На луче AM отмечены точки H и B, а на луче AN – точки C и D так, что $AH \cdot AB = AC \cdot AD$. Докажите, что точки H, B, C и D лежат на одной окружности.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).