Номер 498, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 498, страница 106.

Условие 2023.

498. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $D$ и $E$ так, что $AD : DB = AE : EC = 3 : 5$. Найдите отрезок $DE$, если $BC = 16$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольник $ABC$ и треугольник $ADE$.

По условию задачи, точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно, и делят их в одинаковом отношении:

$AD : DB = 3 : 5$

$AE : EC = 3 : 5$

Найдем, в каком отношении точка $D$ делит сторону $AB$. Пусть $AD = 3x$, тогда $DB = 5x$. Вся сторона $AB$ будет равна $AD + DB = 3x + 5x = 8x$.

Таким образом, отношение отрезка $AD$ к стороне $AB$ равно:

$\frac{AD}{AB} = \frac{3x}{8x} = \frac{3}{8}$

Аналогично найдем, в каком отношении точка $E$ делит сторону $AC$. Пусть $AE = 3y$, тогда $EC = 5y$. Вся сторона $AC$ будет равна $AE + EC = 3y + 5y = 8y$.

Отношение отрезка $AE$ к стороне $AC$ равно:

$\frac{AE}{AC} = \frac{3y}{8y} = \frac{3}{8}$

Теперь рассмотрим треугольники $ADE$ и $ABC$. У них:

1. Угол $A$ — общий.
2. Стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{3}{8}$.

По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $ADE$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle ADE \sim \triangle ABC$).

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия:

$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{3}{8}$

Нам известна длина стороны $BC = 16$ см. Подставим это значение в пропорцию, чтобы найти $DE$:

$\frac{DE}{16} = \frac{3}{8}$

Выразим $DE$:

$DE = 16 \cdot \frac{3}{8} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

Условие 2015-2022.

498. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $D$ и $E$ так, что $AD : DB = AE : EC = 3 : 5$. Найдите $DE$, если $BC = 16$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).