Номер 504, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 504, страница 107.

Условие 2023.

504. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $AM \cdot MB = CM \cdot MD$. Докажите, что точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на одной окружности.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Доказательство:

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим, что точки $A, B, C$ и $D$ не лежат на одной окружности.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой (в данном случае $A, B, C$), можно провести единственную окружность. Построим такую окружность $\omega$. Согласно нашему предположению, точка $D$ не принадлежит этой окружности.

Прямая, проходящая через точки $C$ и $D$, пересекает окружность $\omega$ в точке $C$. Поскольку $D$ не лежит на окружности, эта прямая должна пересечь окружность в еще одной точке, которую назовем $D_1$. Так как точка $D$ не лежит на окружности, то $D_1 \neq D$. Точка $M$, являясь точкой пересечения отрезков $AB$ и $CD$, также лежит и на прямой $CD_1$.

Так как точки $A, B, C$ и $D_1$ лежат на одной окружности $\omega$, а хорды $AB$ и $CD_1$ пересекаются в точке $M$, то по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд справедливо равенство:
$AM \cdot MB = CM \cdot MD_1$.

Однако по условию задачи нам дано, что:
$AM \cdot MB = CM \cdot MD$.

Сравнивая правые части этих двух равенств, получаем:
$CM \cdot MD_1 = CM \cdot MD$.

Поскольку $M$ — точка пересечения отрезков, она не совпадает с их концами, в частности $M \neq C$, следовательно, длина отрезка $CM$ не равна нулю ($CM \neq 0$). Мы можем разделить обе части равенства на $CM$:
$MD_1 = MD$.

Точки $D$ и $D_1$ лежат на одной прямой $CD$. Так как $M$ — внутренняя точка отрезка $CD$, то точки $D$ и $D_1$ лежат по одну сторону от точки $M$ на этой прямой (на луче $MD$). Равенство расстояний $MD_1 = MD$ в этом случае означает, что точки $D$ и $D_1$ должны совпадать.

Мы пришли к противоречию, так как предположили, что $D \neq D_1$, и доказали, что $D = D_1$. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, точка $D$ должна лежать на той же окружности, что и точки $A, B, C$.

Ответ: Утверждение, что точки $A, B, C$ и $D$ лежат на одной окружности, доказано.

Условие 2015-2022.

504. Отрезки AB и CD пересекаются в точке M. Известно, что $AM \cdot MB = CM \cdot MD$. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).