Номер 1, страница 110 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Когда сделаны уроки. Глава 2. Подобие треугольников - номер 1, страница 110.

Условие 2023.

1. Даны две точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой. Постройте треугольник, одна из сторон которого лежит на данной прямой, а центр описанной окружности и ортоцентр являются двумя данными точками.

Решение 6 (2023).

Для решения данной задачи воспользуемся известными свойствами ортоцентра и центра описанной окружности треугольника. В частности, ключевым является векторное соотношение, связывающее ортоцентр (H), центр описанной окружности (O), вершину треугольника (A) и середину противоположной этой вершине стороны (Mₐ).

Анализ

Пусть искомый треугольник — это $\Delta ABC$. По условию, одна из его сторон, пусть это будет сторона $BC$, лежит на данной прямой $l$. Данные точки $O$ и $H$ являются центром описанной окружности и ортоцентром этого треугольника соответственно.

Для любого треугольника справедливо следующее векторное равенство:

$ \vec{AH} = 2\vec{OM_a} $

где $A$ — одна из вершин, $H$ — ортоцентр, $O$ — центр описанной окружности, а $M_a$ — середина стороны $BC$, противолежащей вершине $A$.

Это соотношение позволяет нам однозначно определить положение вершины $A$. Зная положение вершины $A$ и центра описанной окружности $O$, мы можем найти радиус описанной окружности $R = OA$. Так как вершины $B$ и $C$ также лежат на этой окружности и на прямой $l$, их можно найти как точки пересечения окружности и прямой.

Середина $M_a$ стороны $BC$ лежит на прямой $l$. Также, так как $O$ — центр описанной окружности, то перпендикуляр, опущенный из $O$ на хорду $BC$, делит ее пополам. Следовательно, точка $M_a$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $l$.

Таким образом, мы можем построить точку $M_a$, затем, используя векторное равенство, найти вершину $A$, а после этого — вершины $B$ и $C$.

Построение

1. Опустим из точки $O$ (центра описанной окружности) перпендикуляр на данную прямую $l$. Точка их пересечения будет являться серединой стороны $BC$, обозначим ее $M_a$.
2. Построим вектор $\vec{OM_a}$.
3. Построим вектор $\vec{v} = 2\vec{OM_a}$. Этот вектор имеет то же направление, что и $\vec{OM_a}$, а его длина в два раза больше.
4. Теперь найдём положение вершины $A$, используя соотношение $\vec{AH} = \vec{v}$. Это означает, что для получения точки $A$ нужно отложить от точки $H$ вектор, противоположный вектору $\vec{v}$. Геометрически это эквивалентно построению точки $A$ такой, что $\vec{HA} = -\vec{v}$.
5. Теперь у нас есть вершина $A$ и центр описанной окружности $O$. Расстояние $OA$ является радиусом $R$ описанной окружности.
6. Построим окружность $\Omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$.
7. Найдём точки пересечения окружности $\Omega$ и прямой $l$. Эти две точки и будут вершинами $B$ и $C$.
8. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, получим искомый треугольник $ABC$.

Обоснование

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Одна из сторон лежит на данной прямой. По построению (шаг 7), вершины $B$ и $C$ являются точками пересечения окружности $\Omega$ и прямой $l$, следовательно, сторона $BC$ лежит на прямой $l$.
• Центр описанной окружности является точкой O. По построению (шаги 5-7), все три вершины $A$, $B$, $C$ лежат на окружности $\Omega$ с центром в точке $O$. Следовательно, $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$.
• Ортоцентр является точкой H. По построению, точка $M_a$ является основанием перпендикуляра из $O$ на сторону $BC$, а значит, является её серединой. Вершина $A$ была построена так, чтобы выполнялось векторное равенство $\vec{AH} = 2\vec{OM_a}$. Это равенство является необходимым и достаточным условием того, что точка $H$ является ортоцентром треугольника $ABC$, если $O$ — его центр описанной окружности.

Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника подробно изложен в пункте Построение.

Условие 2015-2022.

1. Даны две точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой. Постройте треугольник, одна из сторон которого лежит на данной прямой, а центр описанной окружности и ортоцентр являются двумя данными точками.

Решение 1 (2015-2022).