Номер 507, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 507, страница 107.

Условие 2023.

507. На диагонали $BD$ квадрата $ABCD$ отметили точку $E$ так, что $DE = AD$. Через точку $E$ проведена прямая, которая перпендикулярна прямой $BD$ и пересекает сторону $AB$ в точке $F$. Докажите, что $AF = FE = BE$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства равенства $AF = FE = BE$ разобьем его на два последовательных утверждения: $FE = BE$ и $AF = FE$.

Доказательство, что $FE = BE$

Рассмотрим квадрат $ABCD$. Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, поэтому $\angle ABD = 45^\circ$. Поскольку точка $F$ лежит на стороне $AB$, то $\angle FBE$ совпадает с углом $\angle ABD$, следовательно, $\angle FBE = 45^\circ$.

По условию задачи, прямая, проходящая через точки $F$ и $E$, перпендикулярна диагонали $BD$. Это означает, что угол между отрезками $FE$ и $BE$ (который лежит на $BD$) прямой, то есть $\angle FEB = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle FBE$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Мы можем найти третий угол $\angle BFE$:
$\angle BFE = 180^\circ - \angle FEB - \angle FBE = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как в треугольнике $\triangle FBE$ два угла равны ($\angle FBE = \angle BFE = 45^\circ$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $FE = BE$.

Ответ: Доказано, что $FE = BE$.

Доказательство, что $AF = FE$

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда $AD = AB = a$. Диагональ квадрата $BD$ находится по теореме Пифагора из треугольника $\triangle ABD$ и равна $BD = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

По условию задачи дано, что $DE = AD$, следовательно, $DE = a$.

Найдем длину отрезка $BE$. Точка $E$ лежит на отрезке $BD$, поэтому $BE = BD - DE$.
$BE = a\sqrt{2} - a = a(\sqrt{2} - 1)$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что $FE = BE$. Значит, $FE = a(\sqrt{2} - 1)$.

Теперь найдем длину отрезка $AF$. Точка $F$ лежит на стороне $AB$, поэтому $AF = AB - FB$. Для этого сначала найдем длину $FB$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle FBE$ ($\angle FEB = 90^\circ$), отрезок $FB$ является гипотенузой. По теореме Пифагора: $FB^2 = FE^2 + BE^2$. Так как $FE = BE$, то $FB^2 = 2 \cdot BE^2$, откуда $FB = BE\sqrt{2}$.

Подставим найденное ранее значение $BE$:
$FB = a(\sqrt{2} - 1) \cdot \sqrt{2} = a(2 - \sqrt{2})$.

Теперь мы можем вычислить $AF$:
$AF = AB - FB = a - a(2 - \sqrt{2}) = a - 2a + a\sqrt{2} = a\sqrt{2} - a = a(\sqrt{2} - 1)$.

Сравнивая полученные выражения для длин отрезков $AF$ и $FE$, мы видим, что они равны:
$AF = a(\sqrt{2} - 1)$
$FE = a(\sqrt{2} - 1)$
Следовательно, $AF = FE$.

Ответ: Доказано, что $AF = FE$.

Итак, мы доказали, что $FE = BE$ и $AF = FE$. Объединяя эти два равенства, получаем итоговое равенство: $AF = FE = BE$. Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

507. На диагонали $BD$ квадрата $ABCD$ отметили точку $E$ так, что $DE = AD$. Через точку $E$ проведена прямая, которая перпендикулярна прямой $BD$ и пересекает сторону $AB$ в точке $F$. Докажите, что $AF = FE = BE$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).