Номер 1, страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 2 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 2. Подобие треугольников - номер 1, страница 111.

Условие 2023.

1. На рисунке 181 $A_1 B_1 \parallel A_2 B_2$, $A_2 B_2 \parallel A_3 B_3$, $A_1 A_2 = \frac{1}{2} A_1 A_3$. Отсюда следует, что

А) $A_1 A_2 = B_1 B_2$

Б) $B_1 B_3 = 2 B_2 B_3$

В) $A_1 A_3 = B_1 B_3$

Г) $A_1 A_2 = B_2 B_3$

Рис. 181

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи, на рисунке 181 даны три параллельные прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$ и $A_3B_3$, которые пересекают две другие прямые (секущие) в точках $A_1, A_2, A_3$ и $B_1, B_2, B_3$ соответственно. То есть, $A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B_3$.

Для решения этой задачи воспользуемся обобщенной теоремой Фалеса (также известной как теорема о пропорциональных отрезках). Она гласит, что если три или более параллельные прямые пересекают две секущие, то отрезки, отсекаемые на одной секущей, пропорциональны соответствующим отрезкам на другой секущей. Математически это можно записать так: $$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $$

В условии дано соотношение для отрезков на первой секущей: $$ A_1A_2 = \frac{1}{2} A_1A_3 $$ Отрезок $A_1A_3$ состоит из двух частей: $A_1A_3 = A_1A_2 + A_2A_3$. Подставим это в исходное равенство: $$ A_1A_2 = \frac{1}{2} (A_1A_2 + A_2A_3) $$ Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: $$ 2A_1A_2 = A_1A_2 + A_2A_3 $$ Вычтем $A_1A_2$ из обеих частей уравнения: $$ A_1A_2 = A_2A_3 $$ Это означает, что точка $A_2$ делит отрезок $A_1A_3$ пополам.

Теперь применим теорему Фалеса. Зная, что $A_1A_2 = A_2A_3$, мы можем подставить это в пропорцию: $$ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} \implies \frac{A_1A_2}{A_1A_2} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} \implies 1 = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $$ Отсюда следует, что: $$ B_1B_2 = B_2B_3 $$ Это означает, что точка $B_2$ также делит отрезок $B_1B_3$ пополам.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответа, чтобы найти единственно верный.

А) $A_1A_2 = B_1B_2$
Теорема Фалеса гарантирует пропорциональность отрезков, а не их равенство. Данное утверждение в общем случае неверно.
Ответ: неверно.

Б) $B_1B_3 = 2B_2B_3$
Рассмотрим отрезок $B_1B_3$. Его длина равна сумме длин составляющих его отрезков: $B_1B_3 = B_1B_2 + B_2B_3$. Поскольку мы выяснили, что $B_1B_2 = B_2B_3$, мы можем заменить $B_1B_2$ на $B_2B_3$: $$ B_1B_3 = B_2B_3 + B_2B_3 = 2B_2B_3 $$ Это утверждение является прямым следствием нашего вывода. Следовательно, оно верно.
Ответ: верно.

В) $A_1A_3 = B_1B_3$
Аналогично варианту А, равенство длин отрезков на разных секущих в общем случае не выполняется.
Ответ: неверно.

Г) $A_1A_2 = B_2B_3$
Аналогично варианту А, равенство отрезков с разных прямых не гарантируется. Утверждение в общем случае неверно.
Ответ: неверно.

Условие 2015-2022.

1. На рисунке 169 $A_1B_1 \parallel A_2B_2, A_2B_2 \parallel A_3B_3,$

$A_1A_2 = \frac{1}{2}A_1A_3.$ Отсюда следует, что

А) $A_1A_2 = B_1B_2$

Б) $B_1B_3 = 2B_2B_3$

В) $A_1A_3 = B_1B_3$

Г) $A_1A_2 = B_2B_3$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).