Номер 8, страница 112 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 2 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 2. Подобие треугольников - номер 8, страница 112.

Условие 2023.

8. Через вершины A и C неравнобедренного треугольника ABC проведена окружность, которая пересекает стороны BA и BC в точках E и D соответственно (рис. 184). Какое из данных равенств является верным?

А) $\frac{BC}{BD} = \frac{BA}{BC}$

Б) $\frac{BE}{BC} = \frac{BD}{BA}$

В) $\frac{DE}{AC} = \frac{BD}{BC}$

Г) $\frac{BD}{DE} = \frac{BC}{AC}$

Рис. 184

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения задачи рассмотрим треугольники $ \triangle BDE $ и $ \triangle BCA $ и докажем их подобие.

1. Угол $ \angle B $ является общим для обоих треугольников.

2. Точки A, C, E, D лежат на одной окружности, следовательно, четырехугольник ACDE — вписанный. По свойству углов вписанного четырехугольника, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. В частности, $ \angle AED + \angle ACD = 180^\circ $.

Поскольку точки B, E, A лежат на одной прямой, углы $ \angle BED $ и $ \angle AED $ являются смежными, и их сумма также равна $180^\circ$: $ \angle BED + \angle AED = 180^\circ $.

Из двух приведенных равенств следует, что $ \angle BED = \angle ACD $. Так как точка D лежит на стороне BC, то $ \angle ACD $ — это тот же угол, что и $ \angle BCA $. Следовательно, $ \angle BED = \angle BCA $.

Таким образом, треугольники $ \triangle BDE $ и $ \triangle BCA $ подобны по двум углам (первый признак подобия), так как $ \angle B $ — общий и $ \angle BED = \angle BCA $.

Из подобия $ \triangle BDE \sim \triangle BCA $ следует пропорциональность их соответствующих сторон (стороны, лежащие напротив равных углов):

$ \frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC} $

Теперь проанализируем каждое из предложенных равенств.

А) $ \frac{BC}{BD} = \frac{BA}{BC} $

Это равенство эквивалентно $ BC^2 = BD \cdot BA $. Из доказанной нами пропорции следует $ BE \cdot BA = BD \cdot BC $. Данное равенство неверно.

Ответ: Неверно.

Б) $ \frac{BE}{BC} = \frac{BD}{BA} $

Это равенство в точности соответствует части пропорции, полученной из подобия треугольников.

Ответ: Верно.

В) $ \frac{DE}{AC} = \frac{BD}{BC} $

Из доказанной пропорции мы знаем, что $ \frac{DE}{AC} = \frac{BD}{BA} $. Если бы равенство В) было верным, то должно было бы выполняться $ \frac{BD}{BC} = \frac{BD}{BA} $, что означает $ BC = BA $. Это противоречит условию, что треугольник ABC неравнобедренный.

Ответ: Неверно.

Г) $ \frac{BD}{DE} = \frac{BC}{AC} $

Это равенство можно переписать в виде $ \frac{BD}{BC} = \frac{DE}{AC} $. Как и в пункте В), это привело бы к выводу, что $ BC = BA $, что противоречит условию задачи.

Ответ: Неверно.

Условие 2015-2022.

8. Через вершины A и C неравнобедренного треугольника ABC проведена окружность, которая пересекает стороны BA и BC в точках E и D соответственно (рис. 172). Какое из данных равенств является верным?

Рис. 172

А) $ \frac{BC}{BD} = \frac{BA}{BC} $

Б) $ \frac{BE}{BC} = \frac{BD}{BA} $

В) $ \frac{DE}{AC} = \frac{BD}{BC} $

Г) $ \frac{BD}{DE} = \frac{BC}{AC} $

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).