Номер 6, страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 2 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 2. Подобие треугольников - номер 6, страница 111.

Условие 2023.

6. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 14$ см, $BC = 21$ см. На стороне $AB$ на расстоянии 4 см от вершины $A$ отмечена точка $D$, через которую проведена прямая, параллельная стороне $AC$. Найдите отрезки, на которые эта прямая делит сторону $BC$.

А) 12 см, 9 см

В) 15 см, 6 см

Б) 18 см, 3 см

Г) 14 см, 7 см

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

6.

Пусть прямая, проходящая через точку $D$ и параллельная стороне $AC$, пересекает сторону $BC$ в точке $E$. По условию, $DE \parallel AC$.

В треугольнике $ABC$ нам даны следующие величины: длина стороны $AB = 14$ см, длина стороны $BC = 21$ см. На стороне $AB$ находится точка $D$ на расстоянии $AD = 4$ см от вершины $A$.

Найдем длину отрезка $DB$. Так как точка $D$ лежит на отрезке $AB$, ее положение делит $AB$ на два отрезка: $AD$ и $DB$. Длина $DB$ вычисляется как разность длин $AB$ и $AD$:

$DB = AB - AD = 14 \text{ см} - 4 \text{ см} = 10$ см.

Согласно теореме о пропорциональных отрезках (также известной как обобщенная теорема Фалеса), если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает две другие стороны, то она отсекает от них пропорциональные отрезки. В нашем случае, поскольку $DE \parallel AC$, треугольник $BDE$ подобен треугольнику $BAC$ ($\triangle BDE \sim \triangle BAC$).

Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон:

$ \frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} $

Подставим известные значения в это соотношение, чтобы найти длину отрезка $BE$:

$ \frac{10}{14} = \frac{BE}{21} $

Выразим $BE$ из этой пропорции:

$ BE = \frac{10}{14} \times 21 $

Упростим выражение. Сначала сократим дробь $\frac{10}{14}$ на 2, получив $\frac{5}{7}$. Затем выполним умножение:

$ BE = \frac{5}{7} \times 21 = 5 \times \frac{21}{7} = 5 \times 3 = 15 $ см.

Мы нашли длину одного из отрезков — $BE$. Второй отрезок, на который точка $E$ делит сторону $BC$, это отрезок $EC$. Его длину можно найти, вычтя длину $BE$ из длины всей стороны $BC$:

$ EC = BC - BE = 21 \text{ см} - 15 \text{ см} = 6 $ см.

Таким образом, прямая делит сторону $BC$ на отрезки длиной 15 см и 6 см.

Ответ: 15 см, 6 см.

Условие 2015-2022.

6. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 14$ см, $BC = 21$ см. На стороне $AB$ на расстоянии 4 см от вершины $A$ отмечена точка $D$, через которую проведена прямая, параллельная стороне $AC$. Найдите отрезки, на которые эта прямая делит сторону $BC$.

А) 12 см, 9 см

Б) 18 см, 3 см

В) 15 см, 6 см

Г) 14 см, 7 см

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).