Номер 4, страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 2 в тестовой форме «Проверьте себя». Глава 2. Подобие треугольников - номер 4, страница 111.

Условие 2023.

4. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 8$ см, $BC = 4$ см, $AC = 9$ см. В каком отношении центр вписанной окружности делит биссектрису $BB_1$ треугольника $ABC$, считая от вершины $B$?

А) $2 : 3$Б) $2 : 1$В) $4 : 3$Г) $3 : 4$

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC. По определению, центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Таким образом, точка O лежит на биссектрисе $BB_1$. Необходимо найти отношение $BO : OB_1$. Решение задачи можно разбить на два этапа.

Шаг 1. Нахождение длин отрезков, на которые биссектриса $BB_1$ делит сторону $AC$.
Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса $BB_1$ делит противоположную сторону $AC$ на отрезки $AB_1$ и $B_1C$, пропорциональные прилежащим сторонам $AB$ и $BC$:$$ \frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AB}{BC} $$Подставим известные значения длин сторон: $AB = 8$ см, $BC = 4$ см.$$ \frac{AB_1}{B_1C} = \frac{8}{4} = 2 $$Из этого соотношения следует, что $AB_1 = 2 \cdot B_1C$.Точка $B_1$ лежит на стороне $AC$, поэтому сумма длин отрезков $AB_1$ и $B_1C$ равна длине стороны $AC$: $AB_1 + B_1C = AC$. По условию $AC = 9$ см.Подставим выражение для $AB_1$ в это равенство:$$ 2 \cdot B_1C + B_1C = 9 $$$$ 3 \cdot B_1C = 9 $$$$ B_1C = 3 \text{ см} $$Теперь найдем длину отрезка $AB_1$:$$ AB_1 = 2 \cdot B_1C = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см} $$

Шаг 2. Нахождение отношения, в котором центр вписанной окружности O делит биссектрису $BB_1$.
Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Так как O — это центр вписанной окружности, то отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$ (или, что то же самое, угла $BAB_1$).Теперь применим свойство биссектрисы к треугольнику $ABB_1$ и его биссектрисе $AO$. Биссектриса $AO$ делит противолежащую сторону $BB_1$ на отрезки $BO$ и $OB_1$, которые пропорциональны прилежащим сторонам $AB$ и $AB_1$:$$ \frac{BO}{OB_1} = \frac{AB}{AB_1} $$Мы знаем, что $AB = 8$ см, и на первом шаге мы вычислили, что $AB_1 = 6$ см. Подставим эти значения в пропорцию:$$ \frac{BO}{OB_1} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $$Таким образом, центр вписанной окружности O делит биссектрису $BB_1$, считая от вершины B, в отношении 4:3.

Ответ: В) 4:3

Условие 2015-2022.

4. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 8$ см, $BC = 4$ см, $AC = 9$ см. В каком отношении центр вписанной окружности делит биссектрису $BB_1$, считая от вершины $B$?

А) $2 : 3$

Б) $2 : 1$

В) $4 : 3$

Г) $3 : 4$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).