Номер 509, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 509, страница 107.

Условие 2023.

509. На окружности отметили 999 точек синим карандашом и одну точку красным карандашом. Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: тех, которые содержат красную точку, или тех, которые её не содержат?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $S$ — это множество 999 синих точек, а $R$ — это красная точка. Общее число точек на окружности равно 1000. Многоугольник определяется выбором не менее трёх вершин из этих 1000 точек.

Разобьём все возможные многоугольники на две группы:

1. Многоугольники, не содержащие красную точку. Все их вершины принадлежат множеству $S$. Назовем их «синими».

2. Многоугольники, содержащие красную точку. Одна из их вершин — это точка $R$, а остальные принадлежат множеству $S$. Назовем их «красными».

Сравним количество многоугольников в этих двух группах.

Количество «синих» многоугольников, обозначим его $N_{синих}$, равно числу способов выбрать подмножество из 999 синих точек, содержащее $k$ точек, где $k \ge 3$. Общее число таких многоугольников равно сумме сочетаний:

$N_{синих} = \sum_{k=3}^{999} C_{999}^k = \sum_{k=3}^{999} \binom{999}{k} = \binom{999}{3} + \binom{999}{4} + \dots + \binom{999}{999}$

Количество «красных» многоугольников, $N_{красных}$, определяется выбором $k-1$ вершин из 999 синих точек, которые вместе с красной точкой образуют $k$-угольник. Так как $k \ge 3$, то число выбираемых синих точек $k-1$ должно быть не менее 2. Общее число таких многоугольников равно:

$N_{красных} = \sum_{j=2}^{999} C_{999}^j = \sum_{j=2}^{999} \binom{999}{j} = \binom{999}{2} + \binom{999}{3} + \dots + \binom{999}{999}$

Теперь сравним $N_{красных}$ и $N_{синих}$. Заметим, что выражение для $N_{красных}$ содержит все слагаемые из выражения для $N_{синих}$, а также дополнительное слагаемое $\binom{999}{2}$:

$N_{красных} = \binom{999}{2} + \left( \binom{999}{3} + \dots + \binom{999}{999} \right) = \binom{999}{2} + N_{синих}$

Так как число сочетаний $\binom{999}{2} = \frac{999 \times 998}{2} = 498501$ является положительным числом, то $N_{красных} > N_{синих}$.

Другой способ рассуждения:

Рассмотрим соответствие между этими двумя множествами многоугольников. Каждому «синему» многоугольнику, состоящему из $k \ge 3$ синих вершин, можно однозначно сопоставить «красный» многоугольник, добавив к его вершинам красную точку. Полученный «красный» многоугольник будет иметь $k+1 \ge 4$ вершин.

Это сопоставление является взаимно-однозначным (инъективным) и ставит в соответствие каждому «синему» многоугольнику некоторый «красный» многоугольник, у которого не менее 4 вершин. Таким образом, количество «синих» многоугольников равно количеству «красных» многоугольников с 4 и более вершинами.

Однако, в этом сопоставлении не были учтены «красные» многоугольники с 3 вершинами (треугольники). Такие треугольники состоят из красной точки и двух синих. Число способов выбрать 2 синие точки из 999 равно $\binom{999}{2}$.

Следовательно, общее число «красных» многоугольников равно сумме числа «синих» многоугольников и числа «красных» треугольников. То есть, «красных» многоугольников больше ровно на $\binom{999}{2}$.

Ответ: Многоугольников, которые содержат красную точку, больше.

Условие 2015-2022.

509. На окружности отметили 999 точек синим карандашом и одну точку красным карандашом. Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: тех, которые содержат красную точку, или тех, которые её не содержат?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).