Номер 508, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 508, страница 107.

Условие 2023.

508. В трапеции $ABCD$ известно, что $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 150^\circ$, $BC = 5$ см. Найдите сторону $CD$, если высота трапеции, проведённая из вершины $C$, разбивает данную трапецию на треугольник и квадрат.

Повторите содержание пункта 7 на с. 198 и пункта 17 на с. 202.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Решение:

Пусть в трапеции $ABCD$ основаниями являются $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. По определению высоты, $CH \perp AD$.

По условию, высота $CH$ разбивает трапецию $ABCD$ на квадрат $ABCH$ и треугольник $\triangle CHD$.

Так как $ABCH$ — квадрат, то все его стороны равны, и все углы прямые. Нам дана сторона $BC = 5$ см. Следовательно, все стороны квадрата равны 5 см:

$AB = BC = CH = HA = 5$ см.

Также, поскольку $ABCH$ — квадрат, угол $\angle BCH = 90^\circ$.

По условию, угол $C$ трапеции равен $150^\circ$, то есть $\angle BCD = 150^\circ$. Этот угол состоит из двух углов: $\angle BCH$ и $\angle HCD$.

$\angle BCD = \angle BCH + \angle HCD$

Отсюда мы можем найти угол $\angle HCD$ в треугольнике $\triangle CHD$:

$\angle HCD = \angle BCD - \angle BCH = 150^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle CHD$. Он является прямоугольным, так как $CH$ — высота и $\angle CHD = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известны:

• катет $CH = 5$ см
• угол $\angle HCD = 60^\circ$

Мы ищем сторону $CD$, которая является гипотенузой в треугольнике $\triangle CHD$.

Воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle HCD) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{CD}$

Подставим известные значения:

$\cos(60^\circ) = \frac{5}{CD}$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:

$\frac{1}{2} = \frac{5}{CD}$

Решая это уравнение, находим $CD$:

$CD = 5 \times 2 = 10$ см.

Ответ: 10 см.

Условие 2015-2022.

508. В трапеции $ABCD$ известно, что $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 150^\circ$, $BC = 5$ см. Найдите сторону $CD$, если высота трапеции, проведённая из вершины $C$, разбивает данную трапецию на треугольник и квадрат.

Повторите содержание пункта 7 на с. 197 и пункта 17 на с. 201.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).