Номер 506, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 506, страница 107.

Условие 2023.

506. Периметр параллелограмма $ABCD$ равен 46 см, $\angle BAD = \angle ADB$. Найдите стороны параллелограмма, если периметр треугольника $BCD$ равен 32 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Дано:

$ABCD$ — параллелограмм.
$P_{ABCD} = 46$ см (Периметр параллелограмма $ABCD$).
$\angle BAD = \angle ADB$.
$P_{\triangle BCD} = 32$ см (Периметр треугольника $BCD$).

Найти:

Стороны параллелограмма $ABCD$.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию $\angle BAD = \angle ADB$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный, и стороны, лежащие против равных углов, равны. Сторона, лежащая против угла $\angle ADB$ — это $AB$. Сторона, лежащая против угла $\angle BAD$ — это $BD$. Таким образом, $AB = BD$.

2. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, то есть $AB = CD$ и $BC = AD$.

3. Периметр параллелограмма $P_{ABCD}$ вычисляется по формуле $P_{ABCD} = 2(AB + BC)$. По условию, $P_{ABCD} = 46$ см, значит:

$2(AB + BC) = 46$

$AB + BC = 23$ см.

4. Периметр треугольника $BCD$ равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle BCD} = BC + CD + BD$. По условию, $P_{\triangle BCD} = 32$ см.

$BC + CD + BD = 32$ см.

5. Теперь воспользуемся равенствами, которые мы установили ранее: $AB = BD$ и $AB = CD$. Подставим $AB$ вместо $CD$ и $BD$ в формулу периметра треугольника $BCD$:

$BC + AB + AB = 32$

$BC + 2AB = 32$ см.

6. Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными, $AB$ и $BC$:

(1) $AB + BC = 23$
(2) $2AB + BC = 32$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(2AB + BC) - (AB + BC) = 32 - 23$

$AB = 9$ см.

7. Теперь найдем сторону $BC$, подставив значение $AB$ в уравнение (1):

$9 + BC = 23$

$BC = 23 - 9$

$BC = 14$ см.

Таким образом, стороны параллелограмма равны $AB = CD = 9$ см и $BC = AD = 14$ см.

Ответ: Стороны параллелограмма равны 9 см и 14 см.

Условие 2015-2022.

506. Периметр параллелограмма $ABCD$ равен 46 см, $\angle BAD = \angle ADB$. Найдите стороны параллелограмма, если периметр треугольника $BCD$ равен 32 см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).