Номер 505, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 505, страница 107.

Условие 2023.

505. На общей хорде двух пересекающихся окружностей отметили точку M и через неё провели хорды AB и CD (рис. 178). Докажите, что $ \angle DAB = \angle BCD $.

Рис. 178

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть данные окружности, назовем их $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $, пересекаются в точках P и Q. Тогда прямая PQ является их общей хордой (а также радикальной осью). По условию, точка M лежит на этой общей хорде.

Рассмотрим доказательство по шагам.

1. Установление связи через степень точки M.

Рассмотрим точки A, D, P, Q. Все они лежат на окружности $ \omega_1 $, следовательно, четырехугольник ADQP — вписанный.

Рассмотрим треугольники $ \triangle MPA $ и $ \triangle MDQ $.

• $ \angle AMP = \angle QMD $ как вертикальные углы.
• $ \angle MAP = \angle PAD $. Так как четырехугольник ADQP вписанный, угол $ \angle PAD $ опирается на дугу PD. На эту же дугу опирается угол $ \angle PQD $. Следовательно, $ \angle PAD = \angle PQD $. Так как точки P, M, Q лежат на одной прямой, $ \angle PQD = \angle MQD $. Таким образом, $ \angle MAP = \angle MQD $.
• $ \angle MPA = \angle DPA $. Так как четырехугольник ADQP вписанный, угол $ \angle DPA $ опирается на дугу DA. На эту же дугу опирается угол $ \angle DQA $. Следовательно, $ \angle DPA = \angle DQA $. Так как точки P, M, Q лежат на одной прямой, $ \angle DQA = \angle MQA $. Таким образом, $ \angle MPA = \angle MQA $.

Из равенства двух углов следует, что треугольники $ \triangle MPA $ и $ \triangle MDQ $ подобны по признаку подобия по двум углам (AAA).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$ \frac{MP}{MD} = \frac{MA}{MQ} $

Отсюда получаем равенство произведений: $ MA \cdot MD = MP \cdot MQ $ (1).

Аналогично рассмотрим точки B, C, P, Q на окружности $ \omega_2 $. Четырехугольник BCQP — вписанный.

Рассмотрим треугольники $ \triangle MPB $ и $ \triangle MCQ $.

• $ \angle BMP = \angle CMQ $ как вертикальные углы.
• $ \angle MBP = \angle CBP $. Так как четырехугольник BCQP вписанный, угол $ \angle CBP $ опирается на дугу CP. На эту же дугу опирается угол $ \angle CQP $. Следовательно, $ \angle CBP = \angle CQP $. Так как P, M, Q лежат на одной прямой, $ \angle CQP = \angle MQP $. Таким образом, $ \angle MBP = \angle MQP $.
• $ \angle MPB = \angle QPB $. Так как четырехугольник BCQP вписанный, угол $ \angle QPB $ опирается на дугу QB. На эту же дугу опирается угол $ \angle QCB $. Следовательно, $ \angle QPB = \angle QCB $. Так как D, M, C лежат на одной прямой, $ \angle QCB = \angle MCQ $. Таким образом, $ \angle MPB = \angle MCQ $.

Из равенства двух углов следует, что треугольники $ \triangle MPB $ и $ \triangle MCQ $ подобны.

Из их подобия следует пропорциональность сторон:

$ \frac{MP}{MC} = \frac{MB}{MQ} $

Отсюда получаем: $ MB \cdot MC = MP \cdot MQ $ (2).

2. Доказательство подобия ключевых треугольников.

Из равенств (1) и (2) следует, что:

$ MA \cdot MD = MB \cdot MC $

Перепишем это соотношение в виде пропорции:

$ \frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD} $

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle MAD $ и $ \triangle MCB $.

• $ \angle AMD = \angle CMB $ как вертикальные углы.
• Стороны, прилежащие к этим углам, пропорциональны: $ \frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD} $.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS), $ \triangle MAD \sim \triangle MCB $.

3. Завершение доказательства.

Так как треугольники $ \triangle MAD $ и $ \triangle MCB $ подобны, их соответственные углы равны. В частности, угол, лежащий против стороны MD в $ \triangle MAD $, равен углу, лежащему против стороны MB в $ \triangle MCB $.

$ \angle MAD = \angle MCB $

Учитывая, что точки A, M, B и D, M, C лежат на прямых, мы можем переписать это равенство как:

$ \angle DAB = \angle BCD $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Путем доказательства подобия треугольников $ \triangle MPA \sim \triangle MDQ $ и $ \triangle MPB \sim \triangle MCQ $ было установлено, что $ MA \cdot MD = MB \cdot MC $. Это, в свою очередь, позволило доказать подобие треугольников $ \triangle MAD \sim \triangle MCB $ по второму признаку, из которого следует равенство соответственных углов $ \angle DAB = \angle BCD $.

Условие 2015-2022.

505. На общей хорде двух пересекающихся окружностей отметили точку $M$ и через неё провели хорды $AB$ и $CD$ (рис. 166). Докажите, что $\angle DAB = \angle BCD$.

Рис. 166

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).