Номер 500, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 500, страница 106.

Условие 2023.

500. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = a$, $AB = BC = b$, отрезки $AM$ и $CK$ – биссектрисы треугольника. Найдите отрезок $MK$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC = b$, он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Рассмотрим биссектрису $AM$, которая проведена к стороне $BC$. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:$ \frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} = \frac{b}{a} $Поскольку $BM + MC = BC = b$, мы можем выразить $MC$ как $MC = b - BM$ и подставить в пропорцию:$ \frac{BM}{b - BM} = \frac{b}{a} $Решим это уравнение относительно $BM$:$ a \cdot BM = b(b - BM) $$ a \cdot BM = b^2 - b \cdot BM $$ a \cdot BM + b \cdot BM = b^2 $$ BM(a + b) = b^2 $$ BM = \frac{b^2}{a+b} $

Теперь рассмотрим биссектрису $CK$, которая проведена к стороне $AB$. Аналогично, по свойству биссектрисы:$ \frac{AK}{KB} = \frac{AC}{BC} = \frac{a}{b} $Так как $AK + KB = AB = b$, мы можем выразить $AK$ как $AK = b - KB$ и подставить в пропорцию:$ \frac{b - KB}{KB} = \frac{a}{b} $Решим это уравнение относительно $KB$:$ b(b - KB) = a \cdot KB $$ b^2 - b \cdot KB = a \cdot KB $$ b^2 = a \cdot KB + b \cdot KB $$ b^2 = KB(a + b) $$ KB = \frac{b^2}{a+b} $

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle KBM$. У них есть общий угол $\angle B$. Сравним отношения сторон, образующих этот угол, в обоих треугольниках:$ \frac{KB}{AB} = \frac{b^2/(a+b)}{b} = \frac{b}{a+b} $$ \frac{BM}{BC} = \frac{b^2/(a+b)}{b} = \frac{b}{a+b} $

Так как отношение сторон $\frac{KB}{AB} = \frac{BM}{BC}$ и угол $\angle B$ между этими сторонами является общим, то треугольник $\triangle KBM$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$:$ k = \frac{MK}{AC} = \frac{KB}{AB} = \frac{BM}{BC} = \frac{b}{a+b} $Используя отношение сторон $MK$ и $AC$, найдем длину $MK$:$ \frac{MK}{AC} = \frac{b}{a+b} $Подставляя $AC=a$, получаем:$ \frac{MK}{a} = \frac{b}{a+b} $$ MK = \frac{ab}{a+b} $

Ответ: $ \frac{ab}{a+b} $

Условие 2015-2022.

500. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = a, AB = BC = b, AM$ и $CK$ – биссектрисы треугольника. Найдите отрезок $MK$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).