Номер 496, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 496, страница 106.

Условие 2023.

496. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ известно, что $\angle A = \angle A_1$, каждая из сторон $AB$ и $AC$ составляет 0,6 сторон $A_1B_1$ и $A_1C_1$ соответственно. Найдите стороны $BC$ и $B_1C_1$, если их сумма равна 48 см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

По условию задачи дано, что $\angle A = \angle A_1$.

Также известно, что сторона $AB$ составляет $0,6$ стороны $A_1B_1$, и сторона $AC$ составляет $0,6$ стороны $A_1C_1$. Это можно записать в виде отношений:$$ \frac{AB}{A_1B_1} = 0,6 $$$$ \frac{AC}{A_1C_1} = 0,6 $$

Таким образом, мы имеем две стороны одного треугольника, пропорциональные двум сторонам другого треугольника, и равные углы между этими сторонами:$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = 0,6 \quad \text{и} \quad \angle A = \angle A_1 $$

По второму признаку подобия треугольников (если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны), следует, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению их соответствующих сторон, то есть $k = 0,6$.

Для подобных треугольников отношение всех соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. Следовательно, отношение сторон $BC$ и $B_1C_1$ также равно $k$:$$ \frac{BC}{B_1C_1} = k = 0,6 $$

Из этого соотношения выразим сторону $BC$ через $B_1C_1$:$$ BC = 0,6 \cdot B_1C_1 $$

По условию задачи, сумма сторон $BC$ и $B_1C_1$ равна 48 см:$$ BC + B_1C_1 = 48 $$

Подставим выражение для $BC$ в это уравнение:$$ 0,6 \cdot B_1C_1 + B_1C_1 = 48 $$

Решим полученное уравнение относительно $B_1C_1$:$$ B_1C_1 (0,6 + 1) = 48 $$$$ B_1C_1 \cdot 1,6 = 48 $$$$ B_1C_1 = \frac{48}{1,6} = \frac{480}{16} = 30 \text{ см} $$

Теперь найдем длину стороны $BC$, подставив значение $B_1C_1$ в формулу $BC = 0,6 \cdot B_1C_1$:$$ BC = 0,6 \cdot 30 = 18 \text{ см} $$

Проверка: $18 + 30 = 48$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: $BC = 18$ см, $B_1C_1 = 30$ см.

Условие 2015-2022.

496. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ известно, что $\angle A = \angle A_1$, каждая из сторон $AB$ и $AC$ составляет $0,6$ сторон $A_1B_1$ и $A_1C_1$ соответственно. Найдите стороны $BC$ и $B_1C_1$, если их сумма равна $48$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).