Номер 490, страница 105 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 490, страница 105.

Условие 2023.

490. На сторонах AB и AC треугольника ABC (рис. 175) отметили соответственно точки D и E так, что $AD = \frac{4}{7}AC$, $AE = \frac{4}{7}AB$. Найдите отрезок DE, если $BC = 21 \text{ см}$.

Рис. 175

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Рассмотрим треугольники $ADE$ и $ACB$.

1. Угол $A$ является общим для обоих треугольников, то есть $\angle DAE = \angle CAB$.

2. По условию задачи даны соотношения сторон: $AD = \frac{4}{7}AC$ и $AE = \frac{4}{7}AB$.

Найдем отношение сторон, прилежащих к общему углу $A$:

$\frac{AD}{AC} = \frac{\frac{4}{7}AC}{AC} = \frac{4}{7}$

$\frac{AE}{AB} = \frac{\frac{4}{7}AB}{AB} = \frac{4}{7}$

3. Так как две стороны одного треугольника ($AD$ и $AE$) пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($AC$ и $AB$) и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники $ADE$ и $ACB$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними).Запишем подобие, соблюдая порядок соответственных вершин: $\triangle ADE \sim \triangle ACB$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$:

$\frac{DE}{CB} = \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = k$

Коэффициент подобия равен $k = \frac{4}{7}$.

Таким образом, $\frac{DE}{BC} = \frac{4}{7}$.

Нам известно, что $BC = 21$ см. Подставим это значение в пропорцию и найдем длину отрезка $DE$:

$\frac{DE}{21} = \frac{4}{7}$

$DE = 21 \cdot \frac{4}{7} = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

Условие 2015-2022.

490. На сторонах AB и AC треугольника ABC (рис. 163) отметили соответственно точки D и E так, что $AD = \frac{4}{7}AC$, $AE = \frac{4}{7}AB$. Найдите отрезок DE, если BC = 21 см.

Рис. 163

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).