Номер 4, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Теорема Менелая. Когда сделаны уроки. Глава 2. Подобие треугольников - номер 4, страница 101.

Условие 2023.

4. Прямая пересекает стороны $AB$, $BC$ и продолжение стороны $AC$ треугольника $ABC$ соответственно в точках $D, E, F$. Докажите, что середины отрезков $DC, AE, BF$ лежат на одной прямой (эту прямую называют прямой Гаусса).

Указание. Примените теорему Менелая к треугольнику, вершины которого являются серединами сторон треугольника $ABC$.

Решение 6 (2023).

Пусть дан треугольник $ABC$. Прямая $l$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно, а продолжение стороны $AC$ в точке $F$.Обозначим через $L, M, N$ середины отрезков $DC, AE, BF$ соответственно. Нам нужно доказать, что точки $L, M, N$ лежат на одной прямой.

Следуя указанию, рассмотрим треугольник, вершинами которого являются середины сторон треугольника $ABC$. Пусть $P$ — середина стороны $BC$, $Q$ — середина стороны $AC$, и $R$ — середина стороны $AB$. Треугольник $PQR$ является срединным треугольником для $ABC$.

Мы докажем, что точки $L, M, N$ лежат на прямых, содержащих стороны треугольника $PQR$. Для этого воспользуемся свойством средней линии треугольника.

1. Рассмотрим точку $L$ — середину отрезка $DC$.
В треугольнике $ADC$ отрезок $QL$ соединяет середины сторон $AC$ и $DC$. Следовательно, $QL$ — средняя линия, и $QL \parallel AD$. Так как точка $D$ лежит на прямой $AB$, то $QL \parallel AB$.
В треугольнике $BDC$ отрезок $PL$ соединяет середины сторон $BC$ и $DC$. Следовательно, $PL$ — средняя линия, и $PL \parallel BD$. Так как точка $D$ лежит на прямой $AB$, то $PL \parallel AB$.
Сторона $PQ$ срединного треугольника $PQR$ также параллельна стороне $AB$.
Поскольку $QL \parallel AB$ и $PL \parallel AB$, а также $PQ \parallel AB$, все три точки $P, Q, L$ лежат на одной прямой, параллельной $AB$. Таким образом, точка L лежит на прямой PQ.

2. Рассмотрим точку $M$ — середину отрезка $AE$.
В треугольнике $ABE$ отрезок $RM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AE$. Следовательно, $RM$ — средняя линия, и $RM \parallel BE$. Так как точка $E$ лежит на прямой $BC$, то $RM \parallel BC$.
В треугольнике $ACE$ отрезок $QM$ соединяет середины сторон $AC$ и $AE$. Следовательно, $QM$ — средняя линия, и $QM \parallel CE$. Так как точка $E$ лежит на прямой $BC$, то $QM \parallel BC$.
Сторона $QR$ срединного треугольника $PQR$ также параллельна стороне $BC$.
Поскольку $RM \parallel BC$ и $QM \parallel BC$, а также $QR \parallel BC$, все три точки $Q, R, M$ лежат на одной прямой, параллельной $BC$. Таким образом, точка M лежит на прямой QR.

3. Рассмотрим точку $N$ — середину отрезка $BF$.
В треугольнике $ABF$ отрезок $RN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BF$. Следовательно, $RN$ — средняя линия, и $RN \parallel AF$. Так как точка $F$ лежит на прямой $AC$, то $RN \parallel AC$.
В треугольнике $CBF$ отрезок $PN$ соединяет середины сторон $BC$ и $BF$. Следовательно, $PN$ — средняя линия, и $PN \parallel CF$. Так как точка $F$ лежит на прямой $AC$, то $PN \parallel AC$.
Сторона $RP$ срединного треугольника $PQR$ также параллельна стороне $AC$.
Поскольку $RN \parallel AC$ и $PN \parallel AC$, а также $RP \parallel AC$, все три точки $R, P, N$ лежат на одной прямой, параллельной $AC$. Таким образом, точка N лежит на прямой RP.

Итак, мы установили, что точки $L, M, N$ лежат на прямых, содержащих стороны треугольника $PQR$. Чтобы доказать, что точки $L, M, N$ коллинеарны, применим к треугольнику $PQR$ и точкам $L, M, N$ теорему, обратную теореме Менелая. Для этого нам нужно доказать, что выполняется равенство:$$ \frac{PL}{LQ} \cdot \frac{QM}{MR} \cdot \frac{RN}{NP} = 1 $$

Вычислим каждое из отношений, используя свойство средней линии ($d(XY)$ означает длину отрезка $XY$):

• Из треугольника $BDC$, $PL$ — средняя линия, значит $PL = \frac{1}{2}d(BD)$. Из треугольника $ADC$, $LQ$ — средняя линия, значит $LQ = \frac{1}{2}d(AD)$. Тогда $ \frac{PL}{LQ} = \frac{d(BD)}{d(AD)} $.
• Из треугольника $AEC$, $QM$ — средняя линия, значит $QM = \frac{1}{2}d(CE)$. Из треугольника $AEB$, $MR$ — средняя линия, значит $MR = \frac{1}{2}d(BE)$. Тогда $ \frac{QM}{MR} = \frac{d(CE)}{d(BE)} $.
• Из треугольника $ABF$, $RN$ — средняя линия, значит $RN = \frac{1}{2}d(AF)$. Из треугольника $CBF$, $NP$ — средняя линия, значит $NP = \frac{1}{2}d(CF)$. Тогда $ \frac{RN}{NP} = \frac{d(AF)}{d(CF)} $.

Перемножим полученные отношения:$$ \frac{PL}{LQ} \cdot \frac{QM}{MR} \cdot \frac{RN}{NP} = \frac{d(BD)}{d(AD)} \cdot \frac{d(CE)}{d(BE)} \cdot \frac{d(AF)}{d(CF)} $$

Теперь применим теорему Менелая к исходному треугольнику $ABC$ и секущей $DEF$. Согласно теореме Менелая:$$ \frac{d(AD)}{d(DB)} \cdot \frac{d(BE)}{d(EC)} \cdot \frac{d(CF)}{d(FA)} = 1 $$

Преобразуем произведение наших отношений:$$ \frac{d(BD)}{d(AD)} \cdot \frac{d(CE)}{d(BE)} \cdot \frac{d(AF)}{d(CF)} = \frac{1}{\frac{d(AD)}{d(DB)}} \cdot \frac{1}{\frac{d(BE)}{d(EC)}} \cdot \frac{1}{\frac{d(CF)}{d(FA)}} = \left( \frac{d(AD)}{d(DB)} \cdot \frac{d(BE)}{d(EC)} \cdot \frac{d(CF)}{d(FA)} \right)^{-1} $$Подставляя значение из теоремы Менелая, получаем:$$ \frac{PL}{LQ} \cdot \frac{QM}{MR} \cdot \frac{RN}{NP} = 1^{-1} = 1 $$

Так как произведение отношений равно 1, то по теореме, обратной теореме Менелая, точки $L, M, N$ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Условие 2015-2022.

4. Прямая пересекает стороны AB, BC и продолжение стороны AC треугольника ABC соответственно в точках D, E, F. Докажите, что середины отрезков DC, AE, BF лежат на одной прямой (эту прямую называют прямой Гаусса).

Указание. Примените теорему Менелая к треугольнику, вершины которого являются серединами сторон треугольника ABC.

Карл Фридрих Гаусс

(1777–1855)

Выдающийся немецкий математик, астроном, физик, геодезист.

В его творчестве органически сочетались исследования по теоретической и прикладной математике. Работы Гаусса оказали большое влияние на всё дальнейшее развитие алгебры, теории чисел, геометрии, теории электричества и магнетизма.

Решение 1 (2015-2022).