Номер 489, страница 105 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Второй и третий признаки подобия треугольников. Глава 2. Подобие треугольников - номер 489, страница 105.

Условие 2023.

489. На одной стороне угла $A$ отложены отрезки $AB$ и $AD$, а на другой – отрезки $AC$ и $AE$. Подобны ли треугольники $ABC$ и $ADE$, если $AB = 4$ см, $AD = 20$ см, $AC = 10$ см, $AE = 8$ см?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Решение:

Чтобы определить, подобны ли треугольники $ABC$ и $ADE$, воспользуемся вторым признаком подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Согласно этому признаку, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

В треугольниках $ABC$ и $ADE$ угол $A$ является общим. Следовательно, $\angle BAC = \angle DAE$.

Теперь проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этому углу.Стороны, прилежащие к углу $A$ в треугольнике $ABC$, — это $AB = 4$ см и $AC = 10$ см.Стороны, прилежащие к углу $A$ в треугольнике $ADE$, — это $AD = 20$ см и $AE = 8$ см.

Для подобия треугольников необходимо, чтобы выполнялось одно из следующих равенств:

1. $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$
2. $\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD}$

Проверим первое соотношение:

$\frac{4}{20} = \frac{10}{8}$

$\frac{1}{5} \neq \frac{5}{4}$

Это равенство неверно.

Проверим второе соотношение:

$\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD}$

$\frac{4}{8} = \frac{10}{20}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Это равенство верно. Так как отношение сторон $\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD}$ и угол $A$ между ними общий, то треугольники подобны по второму признаку подобия. При этом соответственными вершинами являются $A \leftrightarrow A$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow D$, то есть $\triangle ABC \sim \triangle AED$.

Ответ: Да, треугольники подобны.

Условие 2015-2022.

489. На одной стороне угла $A$ отложены отрезки $AB$ и $AD$, а на другой – отрезки $AC$ и $AE$. Подобны ли треугольники $ABC$ и $ADE$, если $AB = 4$ см, $AD = 20$ см, $AC = 10$ см, $AE = 8$ см?

Рис. 162

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).