Номер 3, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Теорема Птоломея. Когда сделаны уроки. Глава 2. Подобие треугольников - номер 3, страница 103.

Условие 2023.

3. На рисунке 171 изображён вписанный в окружность семиугольник ABCDEFG, у которого все стороны равны. Докажите, что

$\frac{1}{AC} + \frac{1}{AD} = \frac{1}{AB}$

Рис. 171

Решение 6 (2023).

Пусть ABCDEFG — правильный семиугольник, вписанный в окружность. Обозначим длины его стороны и диагоналей: $a = AB$ (сторона), $b = AC$ (меньшая диагональ, соединяющая вершины через одну), $c = AD$ (большая диагональ, соединяющая вершины через две). В силу симметрии правильного многоугольника, все стороны равны $a$, все меньшие диагонали (AC, BD, CE, и т.д.) равны $b$, и все большие диагонали (AD, BE, CF, и т.д.) равны $c$.

Требуется доказать равенство: $\frac{1}{AC} + \frac{1}{AD} = \frac{1}{AB}$, что в принятых обозначениях эквивалентно $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a}$.

Для доказательства рассмотрим четырехугольник ACDE. Так как все вершины семиугольника лежат на одной окружности, то четырехугольник ACDE является вписанным. Мы можем применить к нему теорему Птолемея, которая гласит, что сумма произведений длин противолежащих сторон вписанного четырехугольника равна произведению длин его диагоналей.

Определим длины сторон и диагоналей четырехугольника ACDE:

• Стороны: $AC = b$, $CD = a$, $DE = a$. Сторона $EA$ стягивает три дуги (EF, FG, GA), поэтому ее длина равна длине большей диагонали, то есть $EA = c$.
• Диагонали: $AD$ стягивает три дуги (AB, BC, CD), ее длина равна $c$. Диагональ $CE$ стягивает две дуги (CD, DE), ее длина равна длине меньшей диагонали, то есть $CE = b$.

Согласно теореме Птолемея для четырехугольника ACDE, произведение диагоналей равно сумме произведений противолежащих сторон: $AD \cdot CE = AC \cdot DE + CD \cdot EA$

Подставим в формулу длины отрезков в наших обозначениях: $c \cdot b = b \cdot a + a \cdot c$

Вынесем общий множитель $a$ в правой части: $bc = a(b+c)$

Поскольку $a$, $b$ и $c$ — это длины отрезков, их значения положительны. Разделим обе части равенства на произведение $abc$: $\frac{bc}{abc} = \frac{a(b+c)}{abc}$

После сокращения получаем: $\frac{1}{a} = \frac{b+c}{bc}$

Представим правую часть в виде суммы двух дробей: $\frac{1}{a} = \frac{b}{bc} + \frac{c}{bc}$ $\frac{1}{a} = \frac{1}{c} + \frac{1}{b}$

Возвращаясь к исходным обозначениям отрезков $AB$, $AC$ и $AD$, получаем: $\frac{1}{AB} = \frac{1}{AD} + \frac{1}{AC}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

3. На рисунке 159 изображён вписанный в окружность семиугольник ABCDEFG, у которого все стороны равны. Докажите, что $ \frac{1}{AC} + \frac{1}{AD} = \frac{1}{AB} $.

Рис. 159

Решение 1 (2015-2022).